《数学同步优化指导（人教选修4-5）课件：第2讲 3 课时 反证法与放缩法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学同步优化指导（人教选修4-5）课件：第2讲 3 课时 反证法与放缩法（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法 1 理解并掌握换元法 反证法与放缩法 2 会利用反证法 换元法与放缩法证明不等式 1 将所证的不等式的字母作适当的代换 以达到简化证题 过程的目的 这种方法称为 2 证明不等式时 首先假设要证的命题 以此为 出发点 结合 应用 等 进行正确的推理 得到和 或 等矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 我们把它称为 换元法 不成立 已知条件公理定义定理 性质命题的条件 已证明的定理性质明显成立的事实 反证法 3 在证明不等式时 通过把不等式的某些部分的值 或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种 方法称为放缩法 放大 缩小 1 用
2、反证法证明时 导出矛盾有哪几种可能 提示 1 与原命题的条件矛盾 2 与假设矛盾 3 与定义 公理 定理 性质矛盾 4 与客观事实矛盾 2 用反证法证明命题 若p则q 时 q假 q即为真吗 提示 是的 在证明数学问题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者中居其一 q是q的反面 若 q为假 则q必 为真 3 设a b是两个实数 给出下列条件 1 a b 1 2 a b 2 3 a b 2 4 a2 b2 2 5 ab 1 其 中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件是 填序 号 解析 1 可取a 0 5 b 0 6 故不正确 2 a b 2 可取a 1 b 1 故不正确 3 a b 2 则a
3、 b中至少有一个 大于1 正确 4 a2 b2 2 可取a 2 b 1 故不正确 5 ab 1 可取a 2 b 1 故不正确 答案 3 1 用反证法证明的一般步骤 1 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 2 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设 对某些数学语言的否定假设要准确 以免造成原则性的错 误 常见 词语 至少有 一个 至多有一 个 唯一一个 不 是 不可 能 全 都 是 否定 假设 一个也 没有 有两个或 两个以上 没有或有两 个或两个以 上 是 有或 存在 不 全 不 都
4、是 3 放缩法证明不等式的理论依据 1 不等式的传递性 2 等量加不等量为不等量 3 同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较 用反证法证明否定性问题 设0 a 2 0 b 2 0 c 2 求证 2 a c 2 b a 2 c b不可能同时大于1 思路点拨 结论若是 都是 都不是 至少 差不多 不等 于 等形式的命题 往往考虑反证法 本题 不大于 的反面是 大 于 至少有一个 的反面是 一个也没有 授之以渔 当题目结论为否定性命题时 常采用反证法 来证明 对结论的否定要全面不能遗漏 最后的结论可以与已 知的定义 定理 已知条件 假设矛盾 已知a b c d R 且a b c d 1 a
5、c bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 思路点拨 a b c d中至少有一个是负数 的反面是 a b c d都是非负数 用反证法证 至多 至少 型问题 证明 假设a b c d都是非负数 因为a b c d 1 所以 a b c d 1 而 a b c d ac bc ad bd ac bd 所以ac bd 1 这与ac bd 1矛盾 所以假设不成立 故a b c d中至少有一个是负数 授之以渔 至多 至少 型问题的证明方法 在证明中含有 至多 至少 最多 等字眼时 若正面难以 找到解题的突破口 可转换视角 用反证法证明 在用反证法 证明的过程中 由于作出了与结论相反的假设 相当
6、于增加了 题设条件 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件 否则 将无法推出矛盾 2 已知a1 a2 a3 a4 100 求证 a1 a2 a3 a4中至 少有一个数大于25 证明 假设a1 a2 a3 a4均不大于25 即a1 25 a2 25 a3 25 a4 25 则a1 a2 a3 a4 25 25 25 25 100 这与已知a1 a2 a3 a4 100矛盾 故假设错误 所以a1 a2 a3 a4中至少有一个数大于25 放缩法证明不等式 失分警示 防范措施 正确利用放缩法证明不等式 放缩法原理很简单 但技巧性较强且有时还会有 危险 因为放大或缩小过头 就会出现错误的结论 而达不到预期的 目的 因此在使用放缩法时 应注意放缩的 度 如本例中 处的放缩 谢谢观看
