《数学新学案同步必修五苏教课件：第二章 数列章末复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修五苏教课件：第二章 数列章末复习（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章末复习 第2章 数 列 学习目标 1 整合知识结构 梳理知识网络 进一步巩固 深化所学知识 2 提高解决等差数列 等比数列问题的能力 3 依托等差数列 等比数列解决一般数列的常见通项 求和等问 题 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 等差数列和等比数列的基本概念与公式 等差数列等比数列 定义 如果一个数列从第2项起 每 一项与它的前一项的差等于同 一个常数 那么这个数列就叫 做等差数列 这个常数叫做等 差数列的公差 公差通常用字 母d表示 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等 于同一个常数 那么这个数 列叫做等比数列 这个常数 叫做等比数列的公比 公比 通常用字
2、母q表示 q 0 递推公式an 1 an d q 中项 由三个数a A b组成的等差数 列可以看成最简单的等差数列 这时A叫做a与b的等差中项 并 且A 如果在a与b中间插入一个数 G 使a G b成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 且G 通项公式an a1 n 1 dan a1qn 1 前n项和公式 当q 1时 Sn 当q 1时 Sn na1 性质 am an的关系am an m n d qm n m n s t N m n s t am an as ataman asat kn 是等差数列 且 kn N 是等差数列 是等比数列 n 2k 1 k N S2k 1 2k 1 aka1a2
3、a2k 1 判 断 方 法 利用定义an 1 an是同一常数是同一常数 利用中项an an 2 2an 1anan 2 利用通项公式 an pn q 其中p q 为常数 an abn a 0 b 0 利用前n项和 公式 Sn an2 bn a b为 常数 Sn A qn 1 其中A 0 q 0且q 1或Sn np p为 非零常数 2 数列中的基本方法和思想 1 在求等差数列和等比数列的通项公式时 分别用到了 法和 法 2 在求等差数列和等比数列的前n项和时 分别用到了 法和 法 3 等差数列和等比数列各自都涉及5个量 已知其中任意 个求其余 个 用到了方程思想 4 在研究等差数列和等比数列单调
4、性 等差数列前n项和最值问题时 都用 到了 思想 累加累乘 倒序相加错位相减 三两 函数 思考辨析 判断正误 1 等差数列 等比数列的很多性质是相似的 2 一般数列问题通常要转化为等差数列 等比数列来解决 题型探究 例1 设 an 是公比大于1的等比数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项 类型一 方程思想求解数列问题 解答 设数列 an 的公比为q 由a2 2 可得a1 a3 2q 又S3 7 可知 2 2q 7 即2q2 5q 2 0 解得q1 2 q2 由题意得q 1 q 2 a1 1 故数列 an 的通项为an
5、 2n 1 2 令bn ln a3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和Tn 解 由于bn ln a3n 1 n 1 2 由 1 得a3n 1 23n bn ln 23n 3nln 2 又bn 1 bn 3ln 2 bn 是等差数列 解答 反思与感悟 在等比数列和等差数列中 通项公式an和前n项和公式Sn 共涉及五个量 a1 an n q d Sn 其中首项a1和公比q 公差d 为基 本量 知三求二 是指将已知条件转换成关于a1 an n q d Sn 的方程组 通过方程的思想解出需要的量 解答 因此Sn n 3n 1 或Sn 2n 5 n n N 跟踪训练1 记等差数列 的前n项和为S
6、n 设S3 12 且2a1 a2 a3 1 成等比数列 求Sn 类型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列 an 中 Sn为数列 an 的前n项和 Sn 1 4an 2 a1 1 1 设cn 求证 数列 cn 是等差数列 证明 证明 Sn 1 4an 2 当n 2 n N 时 Sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 方法一 对an 1 4an 4an 1两边同除以2n 1 得 即cn 1 cn 1 2cn 数列 cn 是等差数列 方法二 an 1 2an 2an 4an 1 2 an 2an 1 令bn an 1 2an 则 bn 是以a2 2a1 4a1 2 a1 2a1
7、 3为首项 2为公比的等比数列 bn 3 2n 1 由Sn 1 4an 2 得a1 a2 4a1 2 则a2 3a1 2 5 2 求数列 an 的通项公式及前n项和的公式 解答 设Sn 3 1 2 1 3 2 1 20 3n 1 2n 2 则2Sn 3 1 20 3 2 1 21 3n 1 2n 1 1 3 3n 4 2n 1 2 3n 4 2n 1 数列 an 的通项公式为an 3n 1 2n 2 前n项和公式为Sn 2 3n 4 2n 1 n N Sn 2Sn Sn 3 1 2 1 3 20 21 2n 2 3n 1 2n 1 反思与感悟 由递推公式求通项公式 要求掌握的方法有两种 一 种
8、求法是先找出数列的前几项 通过观察 归纳得出 然后证明 另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列 再采用公式求出 解答 解 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 1时 a1 2 1 2 当n 2时 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 当n 3时 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 跟踪训练2 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求a2 a3的值 证明 2 求证 数列 Sn 2 是等比数列 证明 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 2时 a1 2a2 3a
9、3 n 1 an 1 n 2 Sn 1 2 n 1 得nan n 1 Sn n 2 Sn 1 2 n Sn Sn 1 Sn 2Sn 1 2 nan Sn 2Sn 1 2 Sn 2Sn 1 2 0 即Sn 2Sn 1 2 Sn 2 2 Sn 1 2 S1 2 4 0 Sn 1 2 0 故 Sn 2 是以4为首项 2为公比的等比数列 类型三 函数思想求解数列问题 命题角度1 借助函数性质解数列问题 例3 已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第2项 第5项 第14 项分别是一个等比数列的第2项 第3项 第4项 1 求数列 an 的通项公式 解 由题意得 a1 d a1 13d a1 4
10、d 2 整理得2a1d d2 a1 1 d 0 d 2 an 2n 1 n N 解答 解答 Sn b1 b2 bn 数列 Sn 是递增数列 又 t Z 适合条件的t的最大值为8 反思与感悟 数列是一种特殊的函数 在求解数列问题时 若涉及参 数取值范围 最值问题或单调性时 均可考虑采用函数的性质及研究 方法指导解题 值得注意的是数列定义域是正整数集或 1 2 3 n 这一特殊性对问题结果可能造成影响 跟踪训练3 已知首项为 的等比数列 an 不是递减数列 其前n项和为 Sn n N 且S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 解答 解 设等比数列 an 的公比为
11、q 因为S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差数列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 解答 当n为奇数时 Sn随n的增大而减小 当n为偶数时 Sn随n的增大而增大 综上 对于n N 命题角度2 以函数为载体给出数列 例4 已知函数f x 2 x 无穷数列 an 满足an 1 f an n N 1 若a1 0 求a2 a3 a4 解答 解 由an 1 f an 得an 1 2 an a1 0 a2 2 a3 0 a4 2 2 若a1 0 且a1 a2 a3成等比数列 求a1的值 解 a1 a2 a3成等比数列 a3 2 a2 a1 2 a2 且a2 2 a1 2 a1 2 a
12、1 2 2 a1 即 2 a1 2 a1 2 2 a1 下面分情况讨论 当2 a1 0时 2 a1 2 a1 2 2 a1 解得a1 1 且a1 2 当2 a1 0时 2 a1 2 a1 2 a1 2 a1 4 a1 即 8a1 4 0 即 4a1 4 2 即 a1 2 2 2 解得a1 2 且a1 2 综上 a1 1或a1 2 解答 反思与感悟 以函数为载体给出数列 只需代入函数式即可转化为数 列问题 跟踪训练4 已知函数f x 数列 an 满足 a1 1 an 1 f n N 1 求数列 an 的通项公式 解答 2 令Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 求Tn
13、解答 解 Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 a2 a1 a3 a4 a3 a5 a2n a2n 1 a2n 1 达标检测 1 设数列 an 是公差不为零的等差数列 Sn是数列 an 的前n项和 n N 且 9S2 S4 4S2 则数列 an 的通项公式是 答案解析 123 an 36 2n 1 解析 设等差数列 an 的公差为d 由前n项和的概念及已知条件得 由 得d 2a1 代入 有 36a1 解得a1 0或a1 36 又d 0 所以a1 0不符合题意 舍去 因此a1 36 d 72 故数列 an 的通项公式为 an 36 n 1 72 72n 36 36 2n
14、 1 123 答案解析 123 3 an 3n 16 所以n 3时 nan的值最小 答案解析 3 已知函数y f x 的定义域为R 当x1 且对任意的实数x y R 等式f x f y f x y 恒成立 若数列 an 满足a1 f 0 且f an 1 n N 则a2 018的值为 123 则a1 f 0 1 4 035 an 1 an 2 数列 an 是以1为首项 2为公差的等差数列 an 2n 1 a2 018 4 035 1 等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列 也是高考 中经常考查并且重点考查的内容之一 这类问题多从数列的本质入手 考查这两种基本数列的概念 基本性质 简单运算 通项公式 求和公 式等问题 2 数列求和的方法 一般的数列求和 应从通项入手 若无通项 先求 通项 然后通过对通项变形 转化为与特殊数列有关或具备某种方法适 用特点的形式 从而选择合适的方法求和 规律与方法
