一般力系的简化

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1、 平面一般力系 v平面一般力系 v空间一般力系 一般力系 1 平面力对点之矩 2 力偶 平面力偶系 3 力的平移定理 4 平面一般力系的简化 5 平面一般力系的平衡 6 物体系统的平衡 7 滑动摩擦 力对点之矩力对点之矩是度量力使刚体绕此点转动效是度量力使刚体绕此点转动效 应的物理量应的物理量 平面上力对点之矩的概念 1 平面力对点之矩 力矩中心 矩心 力矩平面 力矩的正负负号规规定 力矩的单单位 d A B F O MO F Fd 2 OAB 力矩的性质 1 当力F的大小等于零 或者力的作用线通过矩心 即力臂d 0 时 力对 矩心的力矩等于零 2 当力F沿其作用线滑动时 并不改变力对指定点的

2、矩 3 同一个力对不同点的矩一般不同 MO F Fd 2 OAB d A B F O 力偶 大小相等 方向相反 不共线的两 个力所组成的力系 力偶的定义 2 力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡 力偶臂 d 力偶作用面 力偶中两力作用线所决 定的平面 一 力偶及力偶矩矢 F F A B d d F F 力 偶 实 例 F1 F2 力偶的要素 1 力偶中任一力的大小和力偶臂的乘积F d 力偶的单位 N m或kN m 2 在力偶作用面内 力偶的转向 3力偶作用面的方位 力偶的正负号表示转向 一般以逆时针转向为正 反之为负 力偶矩与力对点之矩 力偶对力偶对其作用面内其作用面内任一点任一点之矩之矩恒恒

3、等于力等于力偶矩偶矩 而而与矩心无关与矩心无关 MO F MO F Fx F x d Fd M F F F F d O 由此可见由此可见 同一平面内两力偶等效的同一平面内两力偶等效的充分与必要条件充分与必要条件是是 两力偶之两力偶之 矩相等 矩相等 x M F F Fd 力对点的矩与力偶矩的关系 相同点 量纲相同 不同点 力对点的矩可随矩心的位置改变而 改变 但一个力偶的矩是常量 联 系 力偶中的两个力对任一点的之矩之 和是常量 等于力偶 矩 性质一 力偶不能与一个力等效 即力偶不能合 成为一个合力 因此力偶也就不能与一个力平衡 力偶只能与力偶平衡 力偶中的两力在任一轴上投 影的代数和为零 但

4、力偶不是平衡力系 力偶是最 简单的力系 二 力 偶 的 性 质 性质二 当力偶矩保持不变时 力偶可在其作用面内任意移转 而不改 变它对刚体的作用 性质三 只要保持力偶矩不变 可同时相应地改变力偶中力的大小和力 偶臂的长度 而不影响力偶对刚体的作用效应 M Fd F F d 2d 0 5F 0 5F 此性质称为力偶等效性质 平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系 力偶的作用效应 平面力偶系可以合成为一个力偶 合力偶 此合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代数和 M2 M1 Mn 平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充分必要条件为 例1 已知 结构受力如图所示 图中M r均为已知 且l 2r 试画出AB

5、和BDC杆的受力图 求A C处的约束力 A B C D M l r 受力分析受力分析 结论 结论 1 1 ABAB杆为二力杆杆为二力杆 2 2 BDCBDC杆的杆的 B B 二处分别受有一二处分别受有一 个方向虽然未知 个方向虽然未知 但可以判断出但可以判断出 的力的力 B C D M A B F B FA FB FC 45 3 力的平移定理 F1 F2 F3 FR12平平 面面 一一 般般 力力 系系 F 3 O1 O2 问题的产生问题的产生 空间一般力系空间一般力系 力与力偶 如何合成力与力偶 如何合成 定理 作用在刚体上某点的力 F 可以平行移动到刚体上任意一点 但必须 同时附加一个力偶

6、 其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩 M MB F M F d 加平衡力系 F F 将力偶 F F 用M代替 B M F BA F F 大小相等 方向相同 F A B A F F F C F a F C M c 可见 一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内 的力偶 反之 一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力 也可以用一个 位于力偶作用面内的力来等效替换 如 C F b 设在某一刚体上作用着平面一般力系F1 F2 Fn 如图所示 显然 无法象平面汇交力系那样 用力的平行四边形法则来合成它 4 平面一般力系向作用面内一点简化 F1 F2 Fn MO F R F 1 F n

7、F 2 b c F1 F2 a Fn M2 M1 O Mn F 1 F 2 F n M1 M2 Mn 平面汇交力系 平面力偶系 O 主矢量 主矩 对 点的 简化中心 综上所述 平面一般力系向其作用面内一点简化 一般可得一个力和一个力偶 它们对刚体的作用与原力系等效 此力作用于简化中心 其大小和方向决定于 力系的主矢量 此力偶的力偶矩则决定于力系对简化中心的主矩 主矢为 与简化中心无关 力系第一不变量 主矩为 与简化中心有关 一般 主矢唯一 主矢是主矢唯一 主矢是自由矢自由矢 主矩与矩心主矩与矩心位位置有关置有关 主矩是主矩是定位矢定位矢 主矢量和主矩的计算 主矢量F R的计算 主矩 O的计算

8、二 简化结果分析 1 F R 0 MO 0 原力系合成为一个力 作用于点O 的力F R就是 原力系的合力 2 F R 0 MO 0 原力系合成为力偶 这时力系主矩MO 与简化中心位置无关 3 F R 0 MO 0 原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力 这时力系可进一步合成为一个力 O x y F R MO d d O x 0 FR FRy FRx 即 平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点之矩等于力系中所有各力对 同一点之矩的代数和 这称为平面一般力系的合力矩定理 F1 F2 Fn FR A A FR BM 例1 槽形杆用螺钉固定于点O 如图示 在杆端点A作用一力P 其大小 P 400

9、N 试求力P对点O之矩 P F1 F2 A B O C 10cm 12cm 6cm 30 D d 4 F R 0 MO 0 原力系平衡 综上所述 平面一般力系简化的最终结果为 1 一个力 2 一个力偶 3 平衡 例2 在长方形平板的O A B C 点上分别作用着有四个力 F1 1kN F2 2kN F3 F4 3kN 如图 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果 以及该力系的最终合成结果 解 取坐标系Oxy 1 求向O点简化结果 1 求主矢F Rx x y F1 F2 F3 F4 O A B C 2m 3m 30 60 x y F1 F2 F3 F4 O A B C 2m 3m 30 60

10、 F R 2 求主矩 2 求合成结果 合成为一个合力FR FR的大 小 方向与F R相同 其作用线与O点的垂直 距离为 x y F1 F2 F3 F4 O A B C 2m 3m 30 60 F R MO d FR 例 F R FR MO 200mm 300mm 100mm 45 M x y F2 1 1 F3 1 2 F1 3 4 一平面力系向A B两点简化的结果相同 且主矢和主矩 都不为零 问是否可能 思考题1 A B F1 Fn F2 在什么情况下 一平面力系向一点 简化所得的主矢为零 主矩为零 思考题2 判断 设平面一般力系向平面内一点简化得到一个合力 如果另选适当的简 化中心 则可简

11、化为一力偶 A B F1 Fn F2 固定端约束 作为平面一般力系简化结果的一个应用 我们来分析另一种常见约束 固定端约束的反力 遮雨蓬卡盘 简图 固定端约束反力有三个分量 两个正交反力 一个反力偶 A FAx FAy MA FA MA 沿直线分布的线荷载合力 集中力或集中荷载 力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很 小 可以认为集中作用在一点上 例如 道路给轮子的力等 几种分布荷载 1 体分布荷载 如 构件的自重等 2 面分布荷载 风压力 雪压力等 3 线分布荷载 如沿构件的轴线分布 荷载单位 合力大小 合力作用线位置 Fq dFq 合力大小 载荷集度图的面积 根据合力之矩定理 q

12、x B A a b x y xC dx x 5 平面一般力系的平衡条件和平衡方程 基本形式的平衡方程 平面一般力系平衡的充分必要条件是 力系中各力在力系平面内任一轴上投 影的代数和为零 同时各力对力系平面内任一点的力矩的代数和等于零 一 矩 式 投影方程 力矩方程 平面一般力系平衡方程的其它形式 二矩式 三矩式 适用条件 A B两 矩心的连线连线 不能与所 选选投影轴轴 x轴轴 垂直 适用条件 A B C三矩心不能共线线 注意 不论采用哪种形式的平衡方程 其独立的平衡方程的个数只有3个 对一个物体来讲 只能解三个未知量 不得多列 FR F R 向A点简化 向B点简化 静 力 等 效 方向不定

13、方向不定 力系平衡 F1 Fn F2 x B A x B A x B A 平面平行力系的平衡方程 设各力与 y 轴平行 或者 注意 AB与各Fi不平行 两个独立方程 两个独立方程 A B Fi F1 Fn y O x 图图示F1 F2 F3 FN为为一平面力系 若力系平衡 则则下列各组组平 衡方程中互相不独立的是 AB F2 F1 F3 y O x C A B C D B 一般力系平衡方程应用举例 求解单个物体平衡问题的一般步骤为 1 选取研究对象 取分离体 画受力图 2 根据受力图中力系的特点 灵活地选取投影轴和矩心 3 列平衡方程解出未知量 1 力偶与投影方程无关 2 力矩方程中 力偶的正

14、负负与矩心无关 3 固定端约约束有三个约约束反力 偶 注意 例1 外伸梁所图所示 已知F 80N M 50N m q 20N m l 1m 试求A B处的支座反力 F BA l l2l M q 30 解 取AB梁为研究对象 受力如图所示 建立图示坐标系 由平面 力系的平衡方程 F BA M q 30 l l2l x y FAx FAy FB 该式不再独立 可作为校核 例2 已知支架受力如图 其中Q Q 求A B处的约束力 AB 解 取梁AB为分离体 画受力图 AB F 列平衡方程 方向如图 AB 若取B点为矩心 则有 该式不再独立 可作为校核 AB F 例3 起重机的配重问题 已知轨距b 3m

15、 机重G 500kN e 1 5m 最大起重量P 250kN l 10m a 6m 求起重机满载与空载时 均不翻倒的配重Q值 a 解 1 满载情况 P 250kN 取起重机为分离体画受力图 满载不翻倒限制条件 平面平行力系 2个独立方程 以B点为矩心 a 2 空载情况 P 0 空载不翻倒限制条件 以A点为矩心 a 例4 已知 a b c P Q 求 A B处约束反力 解 1 明确对象 取分离体 画受力图 2 列写适当平衡方程 由已知求未知 A B a b c Q P FB FAx FAy Q P 例5 图示的钢筋混凝土配水槽 底宽1m 高0 8m 壁及底厚10cm水深为0 5cm 求1m长度上

16、支座的约 束反力 槽的单位体积重量 24 5k m 0 5m 0 8m 1m A B C 解 取水槽为研究对象画受力图 W1 24 5 1 1 0 1 2 45 kN W2 24 5 1 0 7 0 1 1 715 kN F 0 5 1 9 8 0 5 1 0 5 1 225 kN W 1 9 8 1 0 9 0 5 4 41 kN 0 5m 0 8m 1m A B C W1W2 0 5m W 0 45m d F FAy FAx A 0 45m F 利用平衡方程求解 FAx F 0 FAx 1 225 kN Fiy 0FAy W W1 W2 0 FAy 8 575 kN A Fi 0 A 1 6F 0 45W 0 5 W1 0 95 W2 0 A 5 043 kN m Fix 0 0 5m 0 8m 1m A B C W1W2 0 5m W 0 45m d F FAy FAx A 0 45m 6 物体系统的平衡 静定与静不定问题 物体系统是指由几个物体通过约束组成的系统 1 整体系统平衡 局部必然平衡 因此 可取整体或部分系统 有关联的若干物体 或单个物 体为研究对象 2 分清内力和外