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1、电大理工 2007 年 3 月 Dianda Ligong 第 1 期 总第 230 期 仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用 谭长明 汝春雷 鞍山师范学院 谭长明 汝春雷 鞍山师范学院 鞍山 114007 鞍山 114007 摘 摘 要要 仿射变换是几何中一个重要变换 它是从运动变换到射影变换的桥梁 灵活地运用仿射 变换 能使一些初等几何问题由繁到简 论文中 应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质 的命题 使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中 关键词关键词 仿射变换 不变性 不变量 椭圆 圆和椭圆都是初等几何中常见的图形 圆 比椭圆更特殊 它有很多很好的性质
2、与圆有 关的定理举不胜举 但椭圆则不然 因其本身 的定义要比圆复杂 椭圆的性质和定理就很少 解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆 有关的相应的问题困难得多 在初等几何中 有很多有关椭圆的问题 只能通过解析几何的 方法来解决 这就给我们解题带来了不少麻烦 因此 我们自然期望有一种方法 使得处理有 关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易 而 由仿射变换性质可知 椭圆通过适当的仿射变 换可变成圆 因此 只要考虑的有关椭圆的问 题纯属仿射性质的问题 就可以先转化为有关 圆相应的问题来解决 再把所得的结果推广到 椭圆中去 即可达到我们解题的目的 为实现上述目的 我们还应该明确 为什 么椭圆通过适当的仿
3、射变换可变成圆 命题 圆的仿射对应图形是椭圆 证明 设有以原点为中心 r 为半径的一 个圆 它的参数方程为 x rcos y rsin 则由仿射变换成 232221 131211 ayaxay ayaxax 知此圆的象的参数方程为 sincos sincos 222123 121113 aaray aarax 得出 cos sin 为 1 cos 23121322 21122211 ayaaxa aaaar 1 sin 13212311 21122211 axaaya aaaar 将以上二式平方相加得圆的象的方程为 x1 a13 a212 a222 2 x a13 y a23 a11a21 a
4、12a22 y a232 a112 a122 r2 a11a22 a21a12 2 可以证明这是一个椭圆的方程 因此得知 圆的仿射对应图形是椭圆 由于圆的仿射对应图形是椭圆 所以可以 从圆的性质推导出椭圆的一些性质 已知三角 形 ABC 的顶点与其内切圆的切点的连线共点 因为圆的仿射对应图形是椭圆 三角形的仿射 对应图形也是三角形 且仿射对应图形保持结 合性不变 所以圆的切线的仿射对应图形是椭 圆的切线 因此图 1 的仿射对应图形是图 2 解决有关椭圆的问题就可以简化为解决圆 的问题 主要应用如下 1 求椭圆的面积 利用仿射变换求椭圆的面积见图 1 图 1 仿射变换求椭圆图 图 1 仿射变换求
5、椭圆图 解 设在笛式直角坐标系下椭圆的方程为 L 70 电大理工 总第230期 1 2 2 2 2 b y a x 对其进行仿射变换 0 1 0 0 1 b a b y y a x x 则椭圆的仿射对应图 形为圆 x2 y2 1 由于仿射变换保持两个封闭凸曲线的面积 的比不变 且等于变换系数行列式的绝对值 即 abS S1 S 为圆的面积 S 为椭圆的 面积 abs 1 即 椭圆的面积 S ab 2 有关椭圆内接三角形和外切三角形的 问题 例 在椭圆的内接三角形的顶点作切线构 成外切三角形 如果这两个三角形有两对对应 边平行 则第三对对应边也平行 证明 因为命题的条件和结论都是仿射性 质的 故
6、可证明命题对圆成立 即 仿射变换 保持结合性 直线的平行性 所以命题对椭圆 也成立 设 ABC 是圆的内接三角形 以其顶点作 圆的切线所构成外切三角形为 A1B1C1 且 AB A1B1 BC B1C1如图 2 BC B1C1 1 3 又 AB A1B1 2 4 而 3 4 2 5 故 AC A1C1 图 2 圆及外切三角形示意图 图 2 圆及外切三角形示意图 3 有关椭圆某部分面积的问题 3 有关椭圆某部分面积的问题 对于求有关圆的扇形面积是较容易办到 的 但对于椭圆来说 要求其面积很不方便 通过仿射变换将椭圆变成圆再来解决问题则简 捷很多 例 求椭圆 1 259 22 yx 两点 1 35
7、 2 2 22 P 2 2 5 2 2 3 2 p 和中心的连线以及椭圆弧 P1P2 所围成的面积 Soppo 解 如图 3 仿射变换 yy xx 5 4 3 4 把椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 变圆 x 2 y 2 16 相应的点 1 35 2 2 22 P 2 2 5 2 2 3 2 p 分 别变为 22 22 1 p 22 22 2 p在 O 中 24 21 PP 又因为 2 2 4 22 2 sin 21 R PP 4 圆 O 中的扇形面积 416 4 2 2 1 2 RSoppo 而 15 16 5 4 3 4 0 21 21 POP OPPO S S 4 5 16 15 2121 OPPOOPOP SS 通过以上例题可以看出 我们不但能够求 出圆的扇形面积 也能求出椭圆的扇形面积 只要给出椭圆上的两点即可 这个结论在初等 几何中是没有的 综上 椭圆的有关仿射性质 的问题可转化为圆的问题来解决 为解题或证 明带来极大的方便 参考文献 参考文献 1 梅向明 刘增贤 王汇淳等 高等几何 北京 高等教 育出版社 1983 2 朱德祥 初等几何研究 北京 高等教育出版 社 1985 1 C A B A P P X Y X Y 1 P 2 P 图3 椭圆仿射变换图
