《同步指导数学人教B选修2-3课件：第1章 计数原理 1.2.1 （二）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同步指导数学人教B选修2-3课件：第1章 计数原理 1.2.1 （二）（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 计数原理 1 2 1 排列 二 学习目标 1 进一步加深对排列概念的理解 2 掌握几种有限制条件的排列 能应用排列数公式解决简单 的实际问题 1 预习导学 挑战自我 点点落实 2 课堂讲义 重点难点 个个击破 3 当堂检测 当堂训练 体验成功 知识链接 有限制条件的排列问题的解题思路有哪些 答 所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特 殊要求 解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解 决 常用的方法有直接法和间接法 直接法又有分步法和 分类法两种 1 直接法 分步法 按特殊元素或特殊位置优先安排 再安排一般元素 位置 依 次分步解决 特别地 当某些特殊元素要求必须相邻时可以先
2、将这些元素看作 一个整体 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排序 这种分步法称为 捆绑法 即 相邻元素捆绑法 当某些特殊元素要求不相邻时 可以先安排其他元素 再将这些不相邻元素插入空档 这种方法称为 插空法 即 不相邻元素插空法 分类法 直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决 即 直接分类法 特别地当某些元素按一定顺序排列时可用 等机率法 即 n个不同元素参加排列 其中m个元素的顺序是确定的 这类 问题的解法采用分类法 n个不同元素的全排列 2 间接法 符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差 故求符合 条件的种数时 可先求与其对应的不符合条件的种数 进而 求解 即 间接法
3、预习导引 1 排列数公式 A n m N m n A 叫作n的阶乘 另外 我们规 定0 n n 1 n 2 n m 1 n n 1 n 2 2 1n 1 2 应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本 步骤 要点一 数字排列的问题 例1 用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个数字不重复的三位数 解 分三步 先选百位数字 由于0不能作百位数字 因此有5种选法 十位数字有5种选法 个位数字有4种选法 由分步乘法计数原理知所求三位数共有5 5 4 100 个 2 可以组成多少个数字允许重复的三位数 解 分三步 百位数字有5种选法 十位数字有6种选法 个位数字有6种选法 故所求
4、三位数共有5 6 6 180 个 3 可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数 解 分三步 先选个位数字 有3种选法 再选百位数字 有4种选法 选十位数字也有4种选法 所以所求三位奇数共有3 4 4 48 个 4 可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数 解 分三类 一位数共有6个 两位数共有5 5 25 个 三位数共有5 5 4 100 个 因此 比1 000小的自然数共有6 25 100 131 个 5 可以组成多少个大于3 000 小于5 421的不重复的四位数 解 分四类 千位数字为3 4之一时 共有2 5 4 3 120 个 千位数字为5 百位数字为0 1 2 3之一时 共有4
5、 4 3 48 个 千位数字为5 百位数字为4 十位数字为0 1之一时 共有 2 3 6 个 还有5 420也是满足条件的1个 故所求四位数共120 48 6 1 175 个 规律方法 排列问题的本质是 元素 占 位子 问题 有 限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某 个位子上 或某个位子上不排某个元素 解决此类问题的方法主要按 优先 原则 即优先排特殊元 素或优先考虑特殊位子 若一个位子安排的元素影响另一个 位子的元素个数时 应分类讨论 跟踪演练1 用0 1 2 9十个数字可组成多少个满足以 下条件的且没有重复数字的数 1 五位奇数 解 要得到五位奇数 末位应从1 3 5 7
6、9五个数字中取 有 5种取法 取定末位数字后 首位就有除这个数字和0之外的8种不同 取法 首末两位取定后 十个数字还有八个数字可供中间的十 位 百位与千位三个数位选取 共有A 种不同的排列方法 因此由分步乘法计数原理共有5 8 A 13 440个没有重 复数字的五位奇数 2 大于30 000的五位偶数 解 要得偶数 末位应从0 2 4 6 8中选取 而要得比30 000大 的五位偶数 可分两类 末位数字从0 2中选取 则首位可取3 4 5 6 7 8 9中任一个 共有7种选取方法 其余三个数位可从除首末两个数位上的数 字之外的八个数字中选取 共A 种取法 所以共有2 7 A 种 不同情况 末位
7、数字从4 6 8中选取 则首位应从3 4 5 6 7 8 9中除去末 位数字的六个数字中选取 其余三个数位仍有A 种选法 所 以共有3 6 A 种不同情况 由分类加法计数原理 比30 000大的无重复数字的五位偶 数共有2 7 A 3 6 A 10 752 个 要点二 排队问题 例2 3名男生 4名女生 按照不同的要求排队 求不同的 排队方案的方法种数 1 选5名同学排成一行 解 无限制条件的排列问题 只要从7名同学中任选5名排列 即可得共有N A 7 6 5 4 3 2 520 种 2 全体站成一排 其中甲只能在中间或两端 解 直接分步法 先考虑甲有A 种方案 再考虑其余6 人全排A 3 全
8、体站成一排 其中甲 乙必须在两端 4 全体站成一排 其中甲不在最左端 乙不在最右端 解 方法一 直接分类法 按甲是否在最右端分两类 方法二 间接法 方法三 直接分步法 按最左端优先安排分步 5 全体站成一排 男 女各站在一起 解 相邻问题 捆绑法 6 全体站成一排 男生必须排在一起 解 捆绑法 即把所有男生视为一个元素 与4名女生组成5 个元素全排 7 全体站成一排 男生不能排在一起 解 即不相邻问题 插空法 8 全体站成一排 男 女生各不相邻 9 全体站成一排 甲 乙中间必须有2人 解 捆绑法 任取2人与甲 乙组成一个整体 与余下3个元 素全排 10 全体站成一排 甲必须在乙的右边 解 甲与
9、乙之间的左右关系各占一半 11 全体站成一排 甲 乙 丙三人自左向右顺序不变 解 甲 乙 丙自左向右顺序保持不变 12 排成前后两排 前排3人 后排4人 规律方法 排队问题的解题策略 排队问题除涉及特殊元素 特殊位置外 还往往涉及相邻 不相邻 定序等问题 1 对于相邻问题 可采用 捆绑法 解决 即将相邻的元素视 为一个整体进行排列 2 对于不相邻问题 可采用 插空法 解决 即先排其余的元 素 再将不相邻的元素插入空中 3 对于定序问题 可采用 除阶乘法 解决 即用不限制 的排列数除以顺序一定元素的全排列数 跟踪演练2 分别求出符合下列要求的不同排法的种数 1 6名学生排3排 前排1人 中排2人
10、 后排3人 2 6名学生排成一排 甲不在排头也不在排尾 解 甲不能排头尾 让受特殊限制的甲先选位置 有A 种选法 3 6人排成一排 甲 乙不相邻 解 甲 乙不相邻 第一步除甲 乙外的其余4人先排好 第二步 甲 乙在已排好的4人的左 右及之间的空位中排 要点三 排列的综合应用 例3 从数字0 1 3 5 7中取出不同的三个数作系数 可以组成 多少个不同的一元二次方程ax2 bx c 0 其中有实根的方 程有多少个 解 先考虑组成一元二次方程的问题 由分步乘法计数原理知 共组成一元二次方程 方程要有实根 必须满足 b2 4ac 0 分类讨论如下 当c 0时 分析判别式知b只能取5 7中的一个 当b
11、取5时 a c只能取1 3这两个数 有A 种 由分类加法计数原理知 有实根的一元二次方程共有 规律方法 该例的限制条件较隐蔽 需仔细分析 一元二次方程 中a 0需要考虑到 而对有实根的一元二次方程需有 0 这里有 两层意思 一是a不能为0 二是要保证b2 4ac 0 所以需先对c 能否取0进行分类讨论 实际问题中 既要能观察出是排列问题 又要能搞清哪些是特殊元素 还要根据问题进行合理分类 分步 选择合适的解法 因此需做一定量的排列应用题 逐渐掌握解决 问题的基本思想 跟踪演练3 从集合 1 2 3 20 中任选出3个不同的数 使这3个数成等差数列 这样的等差数列可以有多少个 解 设a b c
12、N 且a b c成等差数列 则a c 2b 即a c应是偶数 因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列 则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数 而1到20这 20个数字中有10个偶数和10个奇数 当第一个和第三个数选定后 中间数被唯一确定 因此 选法 只有两类 1 用1 2 3 4 5这5个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇数 共有 A 30个 B 36个 C 40个 D 60个 1 2 3 4 1 2 3 4 答案 B 1 2 3 4 2 6把椅子摆成一排 3人随机就座 任何两人不相邻的坐法 种数为 A 144 B 120 C 72 D 24 解析 剩余的3个座位共有4个空隙供
13、3人选择就座 D 1 2 3 4 3 将序号分别为1 2 3 4 5的5张参观券全部分给4人 每人至 少1张 如果分给同一人的2张参观券连号 那么不同的分法 种数是 解析 5张参观券全部分给4人 分给同一人的2张参观券连 号 方法数为 1和2 2和3 3和4 4和5 四种连号 其他号码 各为一组 分给4人 共有4 A 96种 96 4 将红 黄 蓝 白 黑5种颜色的小球 放入红 黄 蓝 白 黑5种颜色的小口袋中 若不允许有空袋 且红口 袋中不能装入红球 则有 种不同的放法 解析 红口袋不能装入红球 红球只能放在黄 蓝 白 黑4种颜色的口袋中 1 2 3 4 1 2 3 4 答案 96 课堂小结 求解排列问题的主要方法 直接法把符合条件的排列数直接列式计算 优先法优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排 列 同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题 先考虑不受限制的元素 的排列 再将不相邻的元素插在前面元 素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题 可先不考虑顺序限制 排列后 再除以定序元素的全排列 间接法正难则反 等价转化的方法
