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1、二、函数的单调性和奇偶性2.1.76函数f(x)x|x|2x是()(A) 偶函数，且在(1，1)上是增函数(B) 奇函数，且在(1，1)上是减函数(C) 偶函数，且在(1，1)上是减函数(D) 奇函数，且在(1，1)上是增函数解析f(x)x|x|2(x)(x|x|2x)f(x)，所以，函数f(x)是奇函数若x0，则f(x)x22x(x1)21，在(0，1)上函数f(x)单调递减，又由f(x)是奇函数可得它在(1，1)上单调递减，答案为B2.1.77已知二次函数f(x)a1x2b1xc1和g(x)a2x2b2xc2使得f(x)g(x)在(，)上是单调函数，则它们的系数应满足的关系是解析只有当函数
2、f(x)g(x)(a1a2)x2(b1b2)xc1c2为一次函数时，才能使得f(x)g(x)在(，)上是单调函数，所以，函数f(x)和g(x)的系数应满足a1a20且b1b202.1.78若函数f(x)在(2，)上单调递增，则a的取值范围是解析f(x)，即f(x)a在(2，)上单调递增，则12a2.1.79函数f(x)的单调递增区间是解析函数f(x)的定义域是(0，)，而在(0，)上函数f1(x)和f2(x)都单调递增，所以，函数f(x)的单调递增区间是(0，)2.1.80指出下列函数的奇偶性并证明结论：(1) f(x)1：；(2) G(x)f(x)f(x) (ax0)：；(3) f(x)：；
3、(4) f(x)：解析(1) f(x)11f(x)，所以，函数f(x)1是偶函数(2) G(x)f(x)f(x)f(x)f(x)G(x)，所以，函数G(x)f(x)f(x) (ax0)是奇函数(3) f(x)f(x)，所以，函数f(x)是奇函数(4) 函数f(x)的定义域是x|x1，xR，而f(1)1，所以，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数2.1.81若函数f(x)axb的定义域和值域都是1，2，求a和b的值解析若a0，则函数f(x)axb在(，)上单调递增，解得若a0)(1) 求证：函数f(x)在(，)上单调递增；(2) 若函数f(x)在(a2，)上单调递增，求a的取值范围解析(1)
4、设x1x2，则f(x1)f(x2)，于是，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以，函数f(x)在(，)上单调递增(2) 由问题(1)的结论可得a2，即(1)(2)0，所以，a的取值范围是a42.1.83“a1”是“函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的()(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析函数f(x)|xa|在(，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以，“a1”是“函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的充分不必要条件，答案为A2.1.84已知函数f(x)是(，)上的减函数，则函数F(x)f(x)f(x)
5、是()(A) 奇函数，且在(，)上单调递增(B) 偶函数，且在(，)上单调递增(C) 奇函数，且在(，)上单调递减(D) 偶函数，且在(，)上单调递减解析F(x)f(x)f(x)，即F(x)f(x)f(x)，于是，F(x)F(x)，所以，F(x)是奇函数设x1f(x2)，x1x2，f(x1)f(x2)，则f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)，即F(x1)F(x2)，所以，F(x)在(，)上单调递减，答案为C2.1.85设f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)f的所有x之和为()(A) 3(B) 3(C) 8(D) 8解析由已知可得x或x，即x23x30或x25
6、x30，于是，由韦达定理可得所有符合要求的x的和为3(5)8，答案为C2.1.86已知函数f(x)的定义域是一个无限集，那么，在定义域中存在无穷多个实数 x使得f(x)f(x)成立是f(x)为偶函数的()(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件解析由偶函数的概念可知答案为B2.1.87已知yf(x)是定义在R上的单调函数，实数x1x2，1，若|f(x1)f(x2)|f()f()|，则()(A) 0(B) 0(C) 01(D) 1解析由|f(x1)f(x2)|f()f()|及yf(x)在(，)上单调函数可得区间(x1，x2)应是区间(，)的子集，即
7、|x1x2|，于是，|x1x2|，即|1|1|，所以，的取值范围是0，答案为A2.1.88对于a，bR，定义mina，b若函数f(x) min|xt|，|x2|是偶函数，则t 题2.1.88解析考察函数y|x2|和y|xt|的图象可知t22.1.89函数f(x)|x2|x1|x|的单调递增区间是 解析函数f(x)所以，函数f(x)的单调递增区间是(0，)2.1.90求证：函数f(x)是奇函数解析f(x)，此函数的定义域是x|x0，xR，并且f(x)f(x)，所以，它是奇函数2.1.91指出f(x)的单调性解析函数f(x)的自变量x应满足即此函数的定义域是2，6)(6，10若2x1x20，于是，
8、0f(x1)f(x2)，同理，当6x1x210时，也有f(x1)f(x2)0所以，函数f(x)在2，6)，(6，10上单调递增2.1.92已知函数f(x)(1) 指出函数f(x)的单调性，并予以证明；(2) 画出函数f(x)的大致图象题2.1.92解析(1) 设x1x2，则y1y2，于是，当x1x22或2x1x22或2x1y2所以，函数y在(，2)，(2，2)，(2，)上单调递减(2) 函数y的图象如图所示 (注：关于函数y的图象，应当以虚线的形式作直线x2和x2表示该函数的定义域，函数图象应体现出不断趋近于这两条直线，应当表现函数的图象过点2.1.93已知奇函数yf(x)是定义在(2，2)上
9、的减函数，若f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围解析由已知可得f(m1)f(2m1)f(12m)，再由函数f(x)的定义域是(2，2)及在定义域上为减函数得所以，m的取值范围是m1和a0时有af(x)bg(x)25，则af(x)bg(x)3若x0，F(x)af(x)bg(x)2af(x)bg(x)2af(x)bg(x)232，所以，F(x)在(，0)上的最小值为12.1.96对于判断函数y在(1，1)上的单调性问题，某同学给出了如下的解法：令xcos (0)，则ycot，由于ycot在(0，)上单调递减，所以，此函数在(1，1)上为减函数上述结论是否正确，试说明理由解析结论错误，设x1
10、x2，即cos12，而ycot在(0，)上单调递减，于是cot1cot2，即y10，则函数自变量x必须满足axa，此时f(x)，必有x2a0，即该函数的定义域是a，a，于是有f(0)0，该函数一定不是奇函数；若a0，则函数自变量x必须满足axa，此时f(x)，该函数的定义域是a，0)(0，a，并有f(x)f(x)，即此函数是奇函数，所以，函数f(x)为奇函数的充要条件是a02.1.98下列函数中，在(1，)上为增函数的是()(A) y(x2)2(B) y(C) y(D) y解析函数y(x2)2在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增；函数y即为y，它在(，1)，(1，)上单调递增；函数y在(
11、，1)，(1，)上单调递减；函数y即为y，它的定义域是(，24，)，它在(，2上单调递减，在4，)上单调递增，所以，答案为B2.1.99函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是()(A) ab0 (B) ab0 (C) ab (D) a2b20解析因为函数f(x)x|xa|b是奇函数，则对任意xR有f(x)f(x)成立，于是，由f(0)0得b0，再由f(1)f(1)得|1a|1a|，解得a0，此时，f(x)x|x|，显然为奇函数，所以，函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是ab0，即a2b20，答案为D2.1.100已知函数yf(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和为()(A) 4(B) 2(C) 1(D) 0解析设x0是方程f(x)0的一个根，则f(x0)f(x0)0，x0也是方程f(x)0的根，所以，方程f(x)0的四个实根之和是0，答案为D2.1.101函数f(x) (
