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1、三角板块 第4课 三角函数的最值已知f(x)=4msinx-cos2x(xR).若f(x)的最大值为3，求实数m的值.分析 将sinx整体代换成变量t，通过学习过的正弦函数的值域赋予变量t的取值范围，再运用二次函数的理论求得满足题意的结果.解f(x)=4msinx-cos2x=2sin2x+4msinx-1=2(sinx+m)2-(2m2+1),令t=sinx,则f(x)可化为g(t)=2(t+m)2-(2m2+1)(-1t1).当-m0时，则在t=1处,f(x)max=1+4m, 由得m=;当-m0时，则在t=-1处，f(x)max=1-4m,由;综上，m=.点评 本题主要考查三角函数的值域
2、问题和二次函数的值域问题.一、选择题(9327)1函数y=2sinxsin2x的最大值是 ( )A . B. C. D.2若函数y=1-2cosx-2sin2x的值域为a,b，则b2+4a的值为 ( )A.1 B.2 C.3 D.43函数y=(sin2x+csc2x)+(cos2x+sec2x)的最小值是 ( )A.4 B.3 C.5 D.不存在4函数y=cos2x+3sinx的最小值与最大值分别是 ( )A.-4,4 B.,4 C.-4, D-,5函数y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)，当x-,时的值域为 ( )A.-1,0 B.(-1, C.0,1 D.0,16函数f(
3、x)=sin(-x)sin(+2x)cos(+x)的最大值和最小值分别为 ( )A.,- B,- C.1,-1 D.1,07函数y=x,x-1,1的最大值、最小值分别是 ( )A .1，0 B.1,-1 C.，- D，08函数y=+sin2x(xk,kZ)的值域是 ( )A.2,+ B.(1,2 C.(0, D.4,+9当0x时，函数f(x)=的最小值是 ( )A. B. C.2 D.4二、填空题(4312)10y=sin(x-)cosx的最大值是 ，最小值是 .11函数y=2sin(kx-)的周期为T,且T(1,3)，则正整数k的最大值是 .12函数f(x)=的最大值和最小值分别为 和 .1
4、3已知函数y=acosx+b的最大值为1，最小值为-7,则acosx+bsinx的最大值是 .三、解答题(7381041)14求函数f(x)=的最小正周期，最大值和最小值.15求下列函数的最值：(1)y=2sec2x+cot4x.(2)y=(1+cosx)sin(0x).16求函数y=sinxcosx+a(sinx+cosx)的最值.17在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=.(1)求sin2+cos2A的值;(2)若a=,求bc的最大值.18欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽图1量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水
5、渠壁的倾角(090)应为多大时，方能使修建成本最低?四、思考与讨论 (21020)19求函数y=+|sinx|的值域.20记x的函数y=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f(a),试用a表示f(a).参考答案1A y=4sin2xcosx=22C y=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.当cosx=时,ymin=-=a;当cosx=-1时,ymax=3=b.b2+4a=9+4(-)=3. 3C y=1+csc2x+sec2x=3+cot2x+tan2x3+2=5.4C y=1-2sin2x+3sinx=-2(sinx-)2+.sinx=时，y
6、max=;sinx=-1时，ymin=-4.5A y=log2(1-sin2x)=log2cos2x.x-,时，cosx,1，cos2x,1y-1,0.6A f(x)=cos2xcosx(-sinx)=-sin4x,最大值和最小值分别为.-.7C 设x=sin,-,则y=sincos=sin2，2-,，-y.8D 设t=sin2x,t(0,1)，y=t+在(0,1上为减函数，y1+=4.9D 0x,cos2x0,f(x)=,f(x)min=4,此时，tanx=.10;- y=sin(2x-)-sin=sin(2x-)-.ymax=-=,ymin=-=-.116 由题意1k2,k的最大值为6.1
7、2;-4 由y=,sinx=1时，ymax=;sinx=-1时，ymin=-4.135 acosx+bsinx=sin(x+)=5.14分析 将f(x)化简成y=Asin(x+)+k形式，再由周期公式T=，及三角函数性质求最值.解 f(x) =(1+sinxcosx)=sin2x+.所以函数f(x)的最小正周期是,最大值是,最小值是.点评 本题是一道基础题，难度系数不大，主要考查三角公式的简单变形，化简以及三角函数的周期性和最值性.15解 (1)y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x2+=2+3=5，当且仅当x=n时等号成立(nZ),ymin=5,无最大值
8、.(2)0x0,y2=4cos4sin2=2cos2cos22sin22，当且仅当tan=时等号成立，y，即ymax=,无最小值.16解 设sinx+cosx=t,则sinxcosx=(t2-1),t=sinx+cosx=sin(x+)-,y=(t2-1)+at=t2+at-=(t+a)2-a2-(t-,)(1)若-a时当t=-时,ymin=-a+;当t=时,ymax=a+;(2)若-a0即0a时当t=-a时,ymin=-a2-;当t=时,ymax=a+;(3)若0-a,即-a,即a-时当t=时,ymin=a+;当t=-时,ymax=-a+.点评 一个看似简单的题目，讨论却很繁琐，本题将三角函
9、数与二次函数结合，是三角函数中经常命题的一种方式，值得注意.17分析 （1）分别用降幂公式、二倍角公式，化简所求式子再求值.(2)三角形中出现bc联想用余弦定理解题.解 （1）sin2+cos2A=1-cos(B+C)+(2cos2A-1)=(1+cosA)+(2cos2A-1)=(1+)+ (-1)=-.(2)=cosA=,bc=b2+c2-a22bc-a2.bca2,又a=,(bc)max=.当且仅当b=c=时，bc=,故bc的最大值是.点评 本题通过以三角函数为载体，考查了三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理等知识，更以三角函数为载体考查了均值不等式，以及考查了学生的运算能力.18解 作BEDC于E(图略)，在RtBEC中，BC=,CE=hcot，又AB-CD=2CE=2hcot,AB+CD=,故CD=-hcot.设y=AD+DC+BC,则y= (090)，由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值，u可看作(0，2)与(-sin,cos)两点连线的斜率，由于(0,90),点(-sin,cos)在曲线x2+y2=1(-1x0,0y2）（a-2）f(a)=
