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1、 1 对简单旋转体形成过程的认识 1 明确由哪个平面图形旋转而成 2 明确旋转轴是哪条直线 3 旋转必须形成封闭的曲面 简单旋转体的形成过程与性质 2 注意简单旋转体的底面和截面的性质 3 简单旋转体的轴截面的应用 1 简单旋转体的轴截面中有底面半径 母线 高等体现简 单旋转体结构特征的关键量 2 在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平 面图形的转化思想 例1 下列说法中错误的是 A 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C 圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D 圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形 审题指导 本题中A B较
2、难判断 由于过圆柱母线的截 面是矩形 过圆锥顶点的截面是三角形 可作图根据矩形 三角形面积的计算方法进行比较 规范解答 选B A正确 如图 A1B1 B1C1 而四边形ABB1A1和四边形BCC1B1 都是矩形 则 B错误 如图 AB BC SO SO SAB的面积不一定比 SBC的面积大 由轴截面特点知 C D都正确 变式训练 2011 大连高二检测 下列说法正确的是 A 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 解析 选C 只有当截面过圆锥的顶点时 所得三角形的 两腰相等都是圆锥的母
3、线 其余情况都可能不是等腰三角 形 同理可知B D错误 1 棱柱的结构特征 1 底面 两个多边形全等且所在平面互相平行 2 侧面 都是平行四边形 3 侧棱 互相平行且相等 4 截面 平行于底面的截面是与底面全等的多边形 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 棱柱的结构特征 2 特殊四棱柱之间的关系 四棱柱是一类常见的简单多面体 正方体 长方体是特殊 的四棱柱 它们之间的关系如图所示 例2 如图所示ABCD A B C D 是长方体 当用平面BCFE把这个长方 体分成两部分后 各部分形成的多面 体还是棱柱吗 如果不是 请说明理 由 如果是 指出底面及侧棱 审题指导 判断多面体是否是棱柱 关键是寻
4、找底面和 侧面 并从这两个角度分析是否满足棱柱的定义 切忌只 从摆放位置进行判断 规范解答 截面BCFE右侧部分是棱柱 因为它满足棱柱 的定义 它是三棱柱BEB CFC 其中 BEB 和 CFC 是底面 EF B C BC是侧棱 截面BCFE左侧部分 也是棱柱 它是四棱柱ABEA DCFD 其中四边形 ABEA 和四边形DCFD 是底面 A D EF BC AD为侧 棱 变式训练 判断以下说法是否正确 1 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 2 棱柱的面中 至少有2个面互相平行 3 各侧面都是矩形的棱柱是长方体 4 一个n n 3 棱柱共有2n个顶点 解题提示 解答判断正误问题时 若要说明某种说
5、法是错误的 只需举出一反例即可 而要说明某种说法是正 确的 则需进行严格证明 解析 1 错误 反例如图所示三 棱柱ABC A B C 中侧面BCC B 是矩形 但此三棱柱不是直棱柱 2 正确 棱柱的面中 至少有上 下两个底面平行 相对侧面也有 可能平行 如正六棱柱 3 错误 例如直三棱柱各侧面都是矩形 但不是长方体 4 正确 棱柱的顶点是其底面多边形的顶点 n n 3 棱柱 的底面是n边形有n个顶点 所以n n 3 棱柱上下两个底面 共有2n个顶点 1 对几类特殊棱锥的认识 1 三棱锥是面数最少的多面体 又称四面体 它的每一个 面都可以作为底面 2 各棱都相等的四面体称为正四面体 3 正棱锥有
6、以下性质 侧面是全等的等腰三角形 顶 点与底面多边形中心的连线与底面垂直 棱锥 棱台的结构特征 2 柱 锥 台之间的关系 在运动变化的观点下 柱 锥 台之间的关系可以用下图 表示出来 棱锥的侧棱所在的直线交于一点 例3 判断以下说法是否正确 1 侧棱长都相等的棱锥是正棱锥 2 底面是正多边形 各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 3 四面体的每一个面都可以作为棱锥的底面 4 棱锥的各侧棱长相等 5 正六棱锥的侧棱比底面正多边形的边长 审题指导 对于 1 2 可根据正棱锥定义 从以下两个要 点判断 底面是正多边形 各侧面全等 对于 3 要注意 三棱锥也叫作四面体 对于 4 可举反例说明其错误 规范
7、解答 1 错误 因为不知道底面是否为正多边形 2 错误 反例如图所示 如图所示的三棱锥中有AB AD BD BC CD 满足底面三角形BCD为等边三角形 三个 侧面 ABD ABC ACD都是等腰三角 形 但AC长度不定 三个侧面不一定全等 3 正确 四面体是一个三棱锥 根据 棱锥的定义 三棱锥的每一个面都可 以作为底面 4 错误 棱锥的各侧棱长不一定相等 如图所示四棱锥 P ABCD各侧棱长不全相等 5 正确 如图所示 正六棱锥中 OAB是等边三角形 OA AB PAO是直角三角形 PA OA 所以此说法正确 互动探究 本例 1 改为 棱长都相等的三棱锥是正棱锥 正确吗 解析 正确 棱长都相
8、等的三棱锥底面是正多边形 各侧 面全等 是正三棱锥 例 判断如图所示的几何体是不是台体 为什么 审题指导 判断某几何体是否为台体 关键是看该几何 体是否为相应的锥体用平行于底面的截面所截得的 否则 不是台体 规范解答 1 2 3 不是台体 1 中AA1 DD1相交于一 点 而BB1 CC1交于另一点 不能还原成锥体 故不是台体 2 中上 下两个底面不平行 故不是台体 3 中 O与 O1不平行 故不是台体 4 是一个台体 因为它是用平行 于圆锥底面的平面截圆锥而得到的 变式备选 判断如图所示几何体是不是棱台 为什么 解析 观察图形根据棱台的定义可以判断 2 3 是棱台 1 中几何体上下底面不平行
9、故不是棱台 典例 12分 一个有30 角的直角三角板绕其各条边所 在的直线旋转所得到的几何体是圆锥吗 如果以斜边上的 高所在的直线为轴旋转180 得到什么图形 旋转360 又 得到什么图形 审题指导 解题的关键是画出图形明确旋转轴的位置 借助常见简单旋转体的结构特征 判断旋转所得旋转体的 形状 规范解答 图 1 2 旋转一周得到的几何体是圆锥 4分 图 3 旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体 8分 图 4 旋转180 是两个半圆锥的组合体 旋转360 旋转 轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角 形旋转得到的圆锥内 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即
10、时训练 如图 四边形ABCD为直 角梯形 分别以边AD 边AB 边CD所 在直线为旋转轴旋转 分析所形成的 三个几何体的结构特征 解析 以边AD所在直线为旋转轴旋转 形成的几何体是 圆台 如图 以边AB所在直线为旋转轴旋转 形成的几何体是一个圆锥 和一个圆柱拼接而成的几何体 如图 以边CD所在直线为旋转轴旋转 形成的几何体是一个圆柱 挖掉一个圆锥构成的几何体 如图 1 将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周 得到的立体图 形是 解析 选C 由题意可知此直角梯形绕直线l旋转一周 得 到圆台 2 下列几何体中是棱柱的有 A B C D 解析 选D 根据棱柱的定义可知 是棱柱 与放置 位置无关 3 四
11、棱柱的顶点数 棱数 面数分别是 A 8 12 6 B 8 10 6 C 6 9 5 D 8 12 5 解析 选A 根据四棱柱的结构特征可知四棱柱有8个顶点 12条棱 6个面 4 如图 将直角梯形ABCD绕AB边 所在的直线旋转一周 由此形成 的几何体是由 等简单几何体构成的 解析 将直角梯形ABCD绕AB 边所在的直线旋转一周 形成 的几何体如图所示 是由圆 锥 圆柱构成的 答案 圆锥 圆柱 5 欣赏下列世博会场馆图片 结合所学知识说出这些建筑 物主体部分给我们哪些几何体的形象 解析 1 主体部分为四棱台 2 有圆台 圆柱等 3 主体部分为三棱柱 4 主体部分为球 5 主体部分为圆台 6 主体
12、部分为四棱柱 一 选择题 每题4分 共16分 1 过正棱台两底面中心的截面一定是 A 直角梯形 B 等腰梯形 C 一般梯形或等腰梯形 D 矩形 解析 选C 如图所示 图 1 为一般梯形 图 2 为等腰 梯形 2 2011 邢台高一检测 下列关于棱柱的描述中 正确的 是 A 底面是正方形的四棱柱是正方体 B 棱柱只有两个面互相平行 C 棱柱所有的面都是平行四边形 D 底面为六边形的棱柱是六棱柱 解析 选D A错误 因为底面是正方形的四棱柱不一定是 直棱柱 所以不一定是正方体 B错误 棱柱的侧面也有可 能互相平行 C错误 棱柱的底面可以是任意多边形 根据棱 柱的分类方式知D正确 3 下列说法正确的
13、有 1 在圆柱的上下底面圆周上各取一点 则这两点的连线是 圆柱的母线 2 圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 3 在圆台上下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是 圆台的母线 4 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 解析 选B 由圆柱 圆锥 圆台母线的定义可知 2 4 正确 1 3 的反例如图所示 误区警示 解答本题时对圆台 圆柱母线的概念不 清楚 容易导致错误 实际上圆台的母线可理解为 过圆台 的上下底面圆的圆心的平面截圆台 这个平面和侧面的交 线就是母线 圆柱的母线与此同理 4 2011 济南高一检测 若四棱柱的侧面是全等的矩形 则
14、该棱柱是 A 长方体 B 正四棱柱 C 正方体 D 底面是菱形的直棱柱 解析 选D 若四棱柱的侧面是全等的矩形 则可判定该四 棱柱底面四条边相等 且侧棱垂直于底面 因此是底面为 菱形的直棱柱 二 填空题 每题4分 共8分 5 已知A 棱锥 B 正棱锥 C 正三棱锥 D 正四面 体 写出这四个集合的包含关系 注 正四面体是 各棱都相等的三棱锥 解析 正四面体各棱长都相等 各个面都是等边三角形 是特殊的正三棱锥 因此D C 至于A B C的关系则比较 明显是C B A 答案 D C B A 6 已知长方体过同一个顶点的三个面的面积分别为 则它的体对角线长为 解析 设长方体的棱长分别为a b c 则
15、 解之得 所以长方体的体对角线为 答案 方法技巧 巧化未知为已知 长方体棱长和体对角线长的关系公式为 此公式的推导利用了长方体中体对角线与棱构成的直角三 角形 体现了化立体几何问题为平面几何问题的思想方 法 这种思想方法对于解决立体几何问题是十分重要的 三 解答题 每题8分 共16分 7 如图所示 AB CD CD AE 将五边形ABCDE绕AE所在的 直线旋转一周 由此得到的几何体是由哪些几何体构成的 你能否画出这个几何体的大致形状 解题提示 解答本题应把握住AB CD CD AE 这两个条件 同时应注意所围成的曲面的特征及简单旋转 体的底面位置 解析 此几何体自上而 下依次为圆台 圆柱 圆
16、锥 如图所示 8 根据棱柱的结构特征思考以下三个问题 1 正六棱柱有多少对平行平面 能作为棱柱底面的有几对 2 棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗 3 不在同一个面上的两个顶点的连线叫作棱柱的体对角线 试写出正六棱柱ABCDEF A B C D E F 的体对角线 解析 1 如图所示 正六棱柱有四 对平行平面 其中只有一对可以作为 棱柱底面 2 由 1 知不是棱柱的任何两个平行平 面都可以作为棱柱的底面 3 如图所示 正六棱柱的体对角线有AC AD AE BD BE BF CE CF CA DF DA DB EA EB EC FB FC FD 共有18条 挑战能力 10分 在正四棱柱上任意选择4个顶点 试画图分析以下两 个问题 1 这4个顶点可能是哪几种平面图形的顶点 2 这4个顶点可能是哪几种空间图形的顶点 解析 1 这4个顶点可能是以下平面图形的顶点 矩形 正方形 2 这4个顶点可能是以下空间图形的顶点 有三个面为直角三角形 有一个面为等腰三角形其余面是 直角三角形的四面体 如图1 2 每个面都是等腰三角形 的四面体 如图3 每个面都是直角三角形的四面体 如图 4
