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1、2015年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考数学 试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,总分150分,考试时间120分钟。第卷（选择题,共6 0分）一.选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，集合 , 则（ ）A B C D2.下面是关于复数的四个命题:, 的共轭复数为 的虚部为其中真命题为( )ABCD3.已知平面向量的夹角为，（ ）A B C D4.下列推断错误的是( )A.命题“若则 ”的逆否命题为“若则”B.命题存在，使得，则非任意，都有C.若且为假命题，则均为假命题D.“”是“”的充分
2、不必要条件5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ） A B C D6.等比数列中，则数列的前8项和等于（ ）A B C D7.若实数满足不等式组 则的最大值是（ ）A B C D8.抛物线在第一象限内图象上一点处的切线与轴交点的横坐标记为，其中，若，则（ ）A B C D9.定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（ ）A B C D10.设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与 的图像所围成的阴影部分为，任取,则点恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A BC D11.已知、是双曲线的上、
3、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A B C D12.已知实数满足其中是自然对数的底数,则的最小值为（ ）A B C D第卷（非选择题,共90分）二.填空题（本大题共4个小题, 每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.）13定义某种运算，的运算原理如右图：则式子_. 14.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是，侧棱长为，则此球的表面积_.15.从某校数学竞赛小组的名成员中选人参加省级数学竞赛，则甲、乙人至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.16.在平面直角坐标系中,圆的方程为，若直线上
4、至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为的圆与圆有公共点,则的最小值是_.三、解答题（本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）17.(本题满12分)在中，角的对边分别为且(1)求的值；(2)若，且，求的值. 18.（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止设甲在每局中获胜的概率，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（1）求的值；（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.19.（本题满分12分）己知斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，平面平面，是的中点
5、（1）求证：；（2）求二面角的余弦值20.（本题满分12分）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且，点在该椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程21.（本小题满分12分）已知函数 （1）当时，求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图所示,为圆的切线,为切点,，的角平分线与和圆分别交于点和.（1）求证 （2）求的值.2
6、3（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长24(本小题满分l0分)选修45：不等式选讲已知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得，成立，求实数的取值范围2015年2月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考数学试题答案（理科）一、选择题：1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.C 12.B二、填空题：13. 14 14. 15. 49 16.三、解答题17【解析】：（
7、I）由正弦定理得，因此6分 （II）解：由,可得，所以ac -12分18. 解：（）依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束有 解得或 ， 5分（）依题意知，依题意知，的所有可能值为2，4，66分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有， 10分 随机变量的分布列为： 246P则 12分C1CB1NBA1AyzxO19 【解析】：（）证明：方法一取的中点,连结，,由题意知 又因为平面平面， 所以 平面2分因为平面 所以 因为 四边形为菱形，所以 又因为 , 所以 所
8、以 平面4分又 平面， 所以 6分方法二取的中点,连结，, 由题意知 ，.又因为 平面平面，所以 平面以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 2分则,，,，. 4分因为 ，所以6分（）取的中点,连结，, 由题意知 ，.又因为 平面平面，所以 平面以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 7分则,，,.设平面的法向量为，则 即令.所以. 9分又平面的法向量 10分设二面角的平面角为，则.12分 20. （12分） 【解析】（1）椭圆C的方程为 （4分）（2）当直线x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不符合题意 （6分） 当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程得：，显然0成立，设A，B，则，可得|AB|= （10分）又圆的半径r=，AB的面积=|AB| r=，化简得：17+-18=0，得k=1，r =，圆的方程为（12分）21（） 当时 的单调递减区间为 4分（） 由 得记当时 在递减又 8分（）由()知 取得 即 12分22.（1） 为圆的切线, 又为公共角, . 4分 （2）为圆的切线,是过点的割线, 又又由（1）知,连接,则，则， . -10分23解：圆的普通方程为，又所以圆的极坐标方程为 （5分）设，则有解得设，则有解得所以 (10分)24故，从而所求实数的范围为-10分第 8 页 共 4 页
