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1、第五章 系统的稳定性 5 1 系统稳定性的初步概念 5 2 Routh 劳斯 稳定判据 5 3 Nyquist 乃奎斯特 稳定判据 5 4 Bode 伯德 稳定判据 5 5 系统的相对稳定性 5 1 系统稳定的初步概念 一 稳定的概念 A b 不稳定的摆 A A A a 稳定的摆 收敛 稳定 等幅振荡 临界稳定 发散 不稳定 x0 t t 用图形表示 注意 1线性系统的稳定性取决于系统的内 部条件 与输入无关 2系统发生不稳定现象 必须有适当 的反馈作用 3控制理论所讨论的稳定性是指输入 为零时的系统稳定 二 稳定的定义和条件 1 定义 在初始条件下 且不存在输入 作用 系统的时间响应随时间的
2、推 移 逐渐衰减并趋向于零 则称该 系统是稳定的 反之 则为不稳定 2 条件 线性定常系统 经过Laplace变换 考虑到初始条件 其中 N s 与初始条件有关的s的多项式 当输入为零时 Si 系统的根 Ai 与初始条件有关的系数 L 1 当Re si 0 i 1 2 n 时系统稳定 例 特征方程D s s5 7s4 3s2 2s 1 试判断系统的稳定性 s3的系数为0 不满足劳斯判据的必 要条件 系统不稳定 例 特征方程D s s5 7s4 6s3 3s2 2s 1 试判断系统的稳定性 用劳斯判据的必要条件无法判 定系统的稳定性 1 劳斯表 闭环系统的特征方程 D s ansn an 1sn
3、 1 a1s a0 二 系统稳定的充要条件 2 Routh稳定判据 Routh表中的第一列各元的符号均为 正数 则闭环系统稳定 若第一列各元 的符号有改变 则改变的次数等于特征方程 有右根的个数 例 系统的特征方程为D s s5 7s4 6s3 3s2 2s 1 试判断 的稳定性 1 1 劳斯表第一列元素不 全为正 则系统不稳定 s5 1 6 2 s4 7 3 1 s2 s3 s1 s0 有两个右根 二阶系统 特征方程D s a2s2 a1s a0 系统稳定的条件 a2 0 a1 0 a0 0 阶次较低的系统 Routh判据可表示为 劳斯阵列为 s 2 a0a2 s1a10 s0a2 三阶系统
4、 特征方程D s a3s3 a2s2 a1s a0 a3 0 a2 0 a1 0 a0 0 a2a1 a3a0 0 系统稳定的条件 s3 a3 a1 s2 a2 a0 s1 s0a0 例 控制系统的方框图如下 试确定当输 入为单位速度信号时 系统的稳态误差 ess25 系统稳定时的K值范围 系统稳定且ess 0 2的K的取值范围为 25 00 K 0 0 K0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 三 Routh判据的特殊情况 1 劳斯阵列表某一行中的第一列元素 等于零 但其余各项不等于零或不全 为零 处理方法 用一个很小的正数 代替该行第一列 的零 并据此计算出阵列中的其余各项 然后令 0 按
5、前述方法进行判别 如果零 上下两项的符号相同 则系统存在一对虚根 处于临界 稳定状态 如果零 上下两项的符 号不同 则表明有一个符号变化 系统不稳定 例 系统的特征方程 s4 2s3 s2 2s 1 0 试判断系统的稳定性 第一列元素不全为正数 系统不稳定 有两个右根 s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0 1 s1 s0 1 2 劳斯阵列表某一行全为零 劳斯阵列出现全零行表明系统在s平 面有对称分布的根 即存在大小相等符 号相反的实根和 或 一对共轭虚根和 或 对称于实轴的两对共轭复根 或 存在更多这种大小相等 但在s平面位置 径向相反的根 j 0 aa Re Im 0 ja ja j 0
6、 aa jb jb 处理方法 利用该零行上面一行元素构成辅助 多项式 取辅助多项式导数的系数代替 该零行 继续计算劳斯阵列中其余各项 令辅助多项式等于零得到辅助方程 解此方程可得这些成对的特征根 显 然 辅助多项式的阶次总是偶数 例如 闭环系统临界稳定 系统具有两对共轭虚根 5 3 Nyquist稳定判据 一 幅角原理 其中 zi 零点 pi 极点 令 设F s 在 s 平面上 除有限个奇点 外 为单值的连续正则函数 并设 s 平 面上解析点s映射到 F s 平面上为点F s 或为从原点指向此映射点的向量F s 若在 s 平面上任意选定一封闭曲线Ls 只要此曲线不经过F s 的奇点 则在 F
7、s 平面上必有一对应的映射曲线LF 也是一封闭曲线 当解析点s按顺时针沿Ls变化一周时 向量F s 将按顺时针方向旋转N周 即F s 以原点为中心顺时针旋转N周 这就等于曲 线LF顺时针包围原点N次 Ls j s Re Im F s s1 F s1 LF s2 F s2 若令 Z为包围于Ls内的零点数 P为包围 于Ls的极点数 则 N Z P 向量F s 的相位角为 假设Ls内只包含了一个零点 zi 其他零极点 均位于Ls之外 j zi z2 p1 p2 s zi s p1 s Ls 当s沿Ls按顺时针移动一周时 向量 s zi 的相位角变化了 2 而其他各向 量的相位角变化为0 即向量F s
8、 的相位角总的变化量为 2 j zi z2 p1 p2 s z1 s p1 Im Re F si s F s Ls LF 若 s 平面上的封闭曲线包围着F s 的 Z个零点 则在 F s 平面上的映射曲线 LF将绕原点顺时针转Z圈 若 s 平面上的封闭曲线包围着F s 的 P个极点 则在 F s 平面上的映射曲线LF 将绕原点逆时针转P圈 若Ls包围了F s 的Z个零点和P个极点 则在 F s 平面上的映射曲线LF将绕原 点顺时针转N Z P圈 二 Nyquist稳定判据 1 开环 闭环传函零 极点与F s 函数之 间关系 G s H s Xi s X0 s 开环传函的表达形式为GK s G
9、s H s 闭环传函为 令辅助函数 F s 1 GK s GB s F s GK s 零点 极点 零点 极点 零点 极点 相同相同 2 Nyqusit 稳定判据 j s j 0 j L1 L2 R 设F S 在 s 右半平面有Z个零点和P个极 点时 当s沿 s 平面上的Nyquist轨迹移动一 周时 在 F 平面上的影射曲线LF顺时针包围 原点 N Z P 圈 系统稳定的条件 Z 0 N P 即系统稳定时 F平面上的曲线逆时 针包围原点P圈 Re Im F F s 1 G s H s G s H s F s 1 F s Im Re GH 1 j0 GK s Nyquist稳定判据 当 由 到
10、时 若 GH 平面 上的开环频率特性GK j 逆时针方向 包围 1 j0 点P圈 则闭环系统稳 定 P为GK s 在右半平面的极点数 若 由0到 时 则为P 2圈 注意 由 到从0的Nyquist轨迹与 由 0到 的Nyquist轨迹互为以实轴为 对称轴的对称曲线 表述1 开环稳定的系统 闭环稳定的 充要条件是 系统的开环Nyquist轨 迹不包围 1 j0 点 P 0开环稳定 由N Z P得 N 0 例1 一个开环稳定的系统的Nyquist曲线如 图所示 试判断闭环系统的稳定性 Nyquist曲线不包围 1 j0 点 闭环系统稳定 1 j0 0 Im Re 1 j0 闭环系统不稳定 Nyqu
11、ist曲线顺时针包围 1 j0 点2圈 例2 0 Im Re P 0 若 开环不稳 存在着右极点 数量为P 闭环稳定的条件是 Z 0 由 N Z P 得到闭环稳定的条件 N P 表述2 开环不稳定时 系统稳定的充要 条件是 开环Nyquist曲线逆时针包围 1 j0 点P圈 P为开环正极点个数 开环不稳 有一个正极点 P 1 Nyquist曲线逆时针包围 1 j0 点1圈 闭环系统稳定 0 2 j0 Im Re 1 j0 开环不稳 有一个正极点 P 1 Nyquist曲线顺时针包围 1 j0 点1圈 闭环系统不稳定 0 2 j0 Im Re 1 j0 Nyquist曲线逆时针包围 1 j0 点
12、1圈 N 1 闭环系统稳定 P 1 N Re Im 1 j0 0 P 1 例 0 Im Re 开环传函 当 0时 Gk s 0 0 三 开环含有积分环节的Nyquist图 当s沿无穷小半圆逆时针方向移动时 G j0 90o G j0 0o G j0 90o 0 0 Re Im 在 GH 平面上的Nyquist轨迹将沿无 穷大半径从 0 或 0 按顺时针方 向转 180o 或 90o 到 0 0 1 Nyquist轨迹顺时针 包围 1 j0 点2圈 闭环系统不稳定 0 Im Re 1 j0 例 系统的开环传函为 试确定闭环系统的稳定性 0 P 1 开环Nyquist曲 线逆时针包围 1 j0 点
13、1圈 闭环系统稳定 1 j0 Re Im 0 例 开环传函 的Nyquist图如下图 所示 试确定闭环系统的稳定性 P 0 1 0 N 2 P 180 arctan4 arctan arctan2 180o 0 1 j0 Re 0 例 开环传函 图如图所示 试确定闭环系统的稳定性 Im 的Nyquist 闭环系统不稳定 四 穿越的概念 开环Nyquist轨迹在 1 j0 点以左穿过 负实轴的称为穿越 正穿越 相位增加 负穿越 相位减小 相位大 相位小 Re Im 1 j0 1 1 0 5 0 5 Nyquist稳定判据的表述形式3 闭环系统稳定的充要条件是 Nyquist曲线 由 到 在负实轴
14、上 的正 负穿越次数之差等于开环正极点 个数 即 当P N N 时 由 到 系统稳定 或当0 5P N N 时 由0到 系统稳定 N 2 N 4 N N 2 P 1 系统不稳定 1 1 1 1 j0 P 1 Im Re 1 0 0 1 1 1 五 关于Nyquist判据的几点说明 1Nyquist判据是在 GH 平面内判别系 统的稳定性 2Nyquist判据应用简单 3开环不稳定时 闭环系统仍然可稳 定 六 影响系统稳定性的因数 1 开环增益K K 1 K 10 稳定 不稳定 K 系统稳定性 G s K s s 1 s 2 0 Re Im 0 2 系统的型次 系统的型次 系统稳定性 稳定 不稳
15、定 0 0 Im Re 0 Im Re 0 3 系统的阶次 阶次的增大 系统稳定性 当开环为最小相位系统时 在三阶或 三阶以上时 闭环系统才可能不稳定 稳定不稳定 Re Im 0 Re Im 0 1 j0 不稳定 临界稳定稳定 T1T2 arctanT1 arctanT2 180 Re Im 0 0 0 180o 0 Im Re 0 0 0 0的部分 单位圆内部的Nyquist 曲线对应L 0的所有频率范围内的对 数相频特性曲线与 180 线的穿越点 1 1 2 3 4 0 Re Im 180 90 L 1 2 3 4 0 0 Nyquist图中的正穿越对应于对数相频 特性曲线当 增大时从下向
16、上穿越 180 线 相角滞后减小 负穿越对应于对数相频特 性曲线当 增大时 从上向下穿越 180 线 相角滞后增大 1 1 2 3 4 0 Re Im 180 90 L 1 2 3 4 0 0 Nyquist 曲线的辅助线反映在对数相频 特性曲线上 即将对数相频特性曲线的起始 点 0 与 0 v 90 线相连 v 为开环积分 环节的数目 1 1 2 3 4 0 Re Im 180 90 L 1 2 3 4 0 0 C 剪切频率 幅值交界频率 g 相位交界频率 Re ImL 0 c g c g 二 Bode判据 不稳定系统 C g P 0 1 Im Re 1 j0 0 0 C g 稳定系统 C g Im Re 1 j0 P 0 1 0 g C 0 C g 系统不稳定 L g C 0 Bode稳定判据表述1 当开环稳定时 若在L 0的所有 频率下 其相频曲线都在 线以上 的 闭环系统稳定 系统稳定 L C g 0 系统不稳定 L g C 0 表述2 开环不稳定时 闭环稳定的充要条 件是 在L 0的所有频率下 系统的 相频特性曲线在 线上的正负穿越次数 之差等于系统开环正极点个数的一半 正穿
