宁波中考数学第一轮复习第十讲图形变换.doc

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1、第十讲 图形变换 知识梳理 知识点 1 平移变换 重点 掌握平移的概念及性质 难点 平移性质的运用 1 平移的概念 平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离 这种图形变换称为平 移 注 平移变换的两个要素 移动的方向 距离 2 平移变换的性质 1 平移前后的图形全等 即 平移只改变图形的位置 不改变图形的形状和大小 2 对应线段平行 或共线 且相等 3 对应点所连的线段平行 或共线 且相等 如图所示 且共线 且 来源 学 科 网 Z X X K 3 用坐标表示平移 1 在平面直角坐标系中 将点 向右或向左平移 a 个单位点或 向上或向下平移 b 个单位点或 2 对一个图形进行平移 相当于将图形

2、上的各个点的横纵坐标都按 1 中的方式 作出改变 例 1 下列各组图形 可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是 来源 Z xx k Com A B C D 解题思路 解题思路 根据平移的概念可知 平移不改变图形的形状 大小 方向 只改变位 置 选项 B 的两个图形不是全等形 选项 C D 中两个图形的方向发生了改变 解答 解答 选 A 例 2 如图 1 修筑同样宽的两条 之 字路 余下的部分作为耕地 若要使耕地的面 积为 540 米 2 则道路的宽应是 米 解题思路 解题思路 尝试把道路平移一下 化不规则图形为有序规则图形 问题就迎刃而解 了 解答 解答 将横向道路位置平移至最下方 将纵向

3、道路位置平移至最左方 设道路宽为x米 则有 32 20 32 20540 xxx 整理 得 010052 2 xx 0 2 50 xx 50 1 x 不合题意 舍去 2 2 x 道路宽应为 2 米 练习 如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案 若每个小长方形的面积都是 1 则图中阴影部分的面积 是 答案为 5 知识点 2 轴对称变换 重点 掌握轴对称的概念及性质 难点 轴对称的性质的运用 1 轴对称的概念 把一个图形沿一条直线翻折过去 如果它能够与另一个图形重合 那 么这两个图形关于这条直线对称或轴对称 这条直线就是对称轴 两个图形中的对应点 即两图形重合时互相重合的点 叫做对称点 如图所

4、示 关于直线l对称 l为对称轴 32m 20m 图 1 20 x 32 2 轴对称图形 把一个图形沿一条直线对折 对折的两部分能够完全重合 那么就称这 个图形为轴对称图形 这条直线就是这个轴对称图形的对称轴 一个图形的对称轴可以有 1 条 也可以有多条 3 轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别联系 轴对称轴对称是指两个图形的对称关系 轴对称 图形 来源 Z xx k Com 来源 Zxxk Com 轴对称图形是指具有某种对称特性的 一个图形 来源 学 科 网 把轴对称的两个图形看成一个 整体 一个图形 则称 为轴对称图形 把轴对称图形 的互相对称的两个部分看成 两个图形 则它们成轴对 称 来源

5、 学科网 来源 学科网 来源 学 科 网 来源 学 科 网 Z X X K 4 轴对称的性质 1 关于某条直线对称的两个图形全等 2 对称点的连线段被对称轴垂直平分 3 对应线段所在的直线如果相交 则交点在对称轴上 4 轴对称图形的重心在对称轴上 如图被直线l垂直平分 5 轴对称变换的作图 举例说明 已知四边形 ABCD 和直线l 求作四边形 ABCD 关于直线l的对称图形 作法 1 过点 A 作l于 E 延长 AE 到 A 使 则得到点 A 的对称点 2 同理作 B C D 的对称点 3 顺次连结 则四边形为四边形 ABCD 关于直线l的对 称图形 6 用坐标表示轴对称 点关于 x 轴对称的

6、点为 点关于 y 轴对称的点为 点关于直线的对称点为 点关于直线的对称点为 点关于直线的对称点为 点关于直线的对称点为 例 1 下列图形中 是轴对称图形的为 A B C D 解题思路 解题思路 根据定义 如果一个图形是轴对称图形 那么沿对称轴折叠后两部分应该 能完全重合 或者根据轴对称的性质 对称点的连线段应该被对称轴垂直平分 所以解决 此题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴 解答 解答 选 D 例 2 如图所示 关于直线l对称 将向右平移得到 由此得出下列判断 其中正 确的是 A B C D 解题思路 解题思路 由于是从平移得来的 故 但与 关于l成轴对称 不一定有 故 不一定正确 平移

7、和轴对称变换都 是全等变换 故 和 正确 解答 解答 选 B 练习 1 如图所示 半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O 其直径 CD EF 均和 x 轴垂直 以 O 为顶点的两条抛物线分别经过点 C E 和点 D F 则图中阴影部分的面积是 2 已知 AOB 30 点 P 在 AOB 内部 与 P 关于 OB 对称 与 P 关于 OA 对称 则 等于 A 45 B 50 C 60 D 70 答案 1 2 60 知识点 3 旋转变换 重点 掌握旋转的概念及性质 难点 旋转的性质的运用 1 旋转变换的概念 在平面内 将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向 逆时针或顺时针 转动一定的角度 这

8、样的图形变换叫做旋转 这个定点 O 叫旋转中心 转动的角称为旋转 角 注 旋转变换的三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角 2 旋转变换的性质 1 旋转前 后的图形全等 2 对应点到旋转中心的距离相等 意味着 旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上 3 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3 旋转变换的作图 1 确定旋转中心 旋转方向和旋转角度 2 找出能确定图形的关键点 3 连结图形的关键点与旋转中心 并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角 得到 此关键点的对应点 4 按原图形的顺序连结这些对应点 所得图形就是旋转后的图形 5 旋转对称性 如果某图形绕着某一定点转动一定角度 小于 360 后

9、能与自身重合 那么这种图形就叫做旋转对称图形 6 中心对称 把一个图形绕着某个定点旋转 180 如果它能和另一个图形重合 那么这 两个图形关于这个定点对称或中心对称 这个定点叫做对称中心 两个图形中对应点叫做 关于对称中心的对称点 7 中心对称的性质 中心对称是一种特殊的旋转 因此 它具有旋转的一切性质 另外 还有自己特殊的性 质 1 关于中心对称的两个图形全等 2 关于中心对称的两个图形 对称点的连线都经过对称中心 并且被对称中心平 分 即 对称中心是两个对称点连线的中点 3 关于中心对称的两个图形 对应线段平行 或共线 4 中心对称图形的重心在其对称中心 且过对称中心的直线平分该图形的面积

10、 如图所示 若关于点 O 中心对称 则对称中心 O 是线段 共同的中点 且 且 反过来 若线段都经过点 O 且 O 是它 们的中点 那么关于点 O 中心对称 8 中心对称的作图 以上图为例 作关于点 O 的对称图形 1 找出能确定原图形的关键点 如顶点 A B C 2 分别作出原图形的关键点的对称点 如 连结 AO 并在 AO 的延长线上截取 则点 A 为点 A 关于点 O 的对称点 3 按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点 即点 所得的图 形即为求作的对称图形 9 中心对称图形 一个图形绕着一个定点旋转 180 后能与自身重合 这种图形称为中 心对称图形 这个定点叫做该图形的对称中心

11、中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形 旋转角等于 180 10 中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别联系 中心对称 中心对称是指两个图形的对称 关系 把中心对称的两个图形看成一个 整 体 一个图形 则称为中心对称 图形 把中心对称图形的互相对称的 两个部分看成 两个图形 则它们 中心对称图 形 中心对称图形是指具有某种对 称特性的一个图形 成中心对称 11 关于原点对称的点的坐标 点关于原点对称的点的坐标为 例 1 在如图所示的方格纸中 每个小正方形的边长都为 1 构成的 图形是中心对称图形 1 画出此中心对称图形的对称中心 2 画出将沿直线 DE 方向向上平移 5 格得到的 3 要使重合

12、 则绕点顺时针方向旋转 至少要 旋转多少度 不要求证明 解题思路 解题思路 1 在中心对称的问题中 可根据 对称中心为对称点连线段的中点 来确定对称中心 3 可根据 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 来确定旋 转角的大小 画出图形后 可以看出 点与点是旋转变换的一组对应点 则 等于旋转角 解答解答 1 如图 画出对称中心点 O 2 画出 3 至少需要旋转 90 例 2 如图所示 是绕某点逆时针旋转后得到的图形 请确定旋转中心 并测量出旋转角的大小 解题思路 解题思路 可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心 解答 解答 如图 连结 分别作和的垂直平分线 交于点 O

13、则点 O 即为旋转中心 连结 测量得 故旋转角等于 练习 1 如图所示 均为等腰直角三角形 BAF EAC 90 那么 以点 A 为旋转中心逆时针旋转 90 之后与 重合 其中点 F 与点 对应 点 C 与点 对应 2 如图两个全等的正六边形 ABCDEF PQRSTU 其中点 P 位于正六边形 ABCDEF 的中心 如 果它们的面积均为 3 那么阴影部分的面积是 答案 1 B E 2 1 知识点 4 位似变换 重点 掌握位似的概念及性质 难点 位似的性质的运用 1 如果两个多边形相似 而且对应顶点的连线相交于一点 那么这两个多边形叫 做位似图形 这个点叫做位似中心 2 如果两图形 F 与是位

14、似图形 它们的位似中心是点 O 相似比为 k 那么 设 A 与是一双对应点 则直线过位似中心 O 点 并且 设 A 与 B 与是任意两双对应点 则 若直线 AB 不通过位似 中心 O 则 3 利用位似 可以将一个图形放大或缩小 4 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为位似中心 相似比为 k 那么位 似图形对应点的坐标的比等于 k 或 例 已知等边 ABC 画一个与之相似且它们的相似比为 2 的 A B C 解题思路 解题思路 已知一个等边 ABC 要求画一个三角形 使这两个三角形相似 并且相 似比为 2 根据题意可知 已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的 即题 中没有说明是原

15、三角形与新三角形相似 还是新三角形与原三角形相似 这样形成的对应 边的关系有两种 因此是不确定的 再者由于有相似比的值 2 那么要画的三角形边与原 三角形的边是对应边 要满足比值为 2 的情况也有两种 而实现这两种情况只能借助位似 形的知识 根据位似形的知识可知 位似中心存在的情况有两种 即在已知图形内或已知图形外 它们都可以实现放大或缩小的作用 解 解 如图 1 当设位似中心在 ABC的形内时 取内心 O 作为位似中心 1 在 AO BO CO 上分别取中点ABC 连结 A B B C A C 则 ABCA B C 且有A BAB 12 2 取 A C的内心 O 连接 OA OB OC 且延

16、长 使AAAO B BBO C CCO 连结 ACCBBA 则有 ABCA B C 且ABA B 12 如图 2 设位似中心在 ABC的外部时 1 在 ABC外任取一点 O 过 O 点作射线 OA OB OC 并截取AAOA c COCB BBOA BB CC A 连结 则可证 ABCA B C 且 ABA B 12 2 在 A C外任取一点 过 O 作直线 OA OB OC 在 OA OB OC 的另一侧取 ABC 使A OAOB OOB 1 2 1 2 C OOC 1 2 连结A B B C C A 则可证 ABCA B C 且A BAB 12 练习 下列说法正确的是 A 分别在 ABC 的边 AB AC 的反向延长线上取点 D E 使 DE BC 则 ADE 是 ABC 放大后的图形 B 两个位似图形的面积比等于位似比 C 位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D 位似图形的周长之比等于位似比的平方 答案 C 最新考题 中考要求及命题趋势 1 理解轴对称及轴对称图形的联系和区别 2 掌握轴对称的性质 根据要求正确地作出轴对称图形 3 理解图形的平移性质 4 会 按要求画出平移图形