《北师大数学选修4-5同步指导课件：第一章 不等关系与基本不等式 章末复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学选修4-5同步指导课件：第一章 不等关系与基本不等式 章末复习（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 不等关系与基本不等式 章末复习 学习目标 1 梳理本章的重要知识要点 构建知识网络 2 进一步强化对平均值不等式的理解和应用 尤其注意等号 成立的条件 3 巩固对绝对值不等式的理解和掌握 进一步熟练绝对值不 等式的应用 4 熟练掌握不等式的证明方法 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 实数的运算性质与大小顺序的关系 a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 由此可知要比较两个实数的大小 判断差的符号即 可 2 不等式的4个基本性质及5个推论 3 绝对值不等式 1 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号 把含绝对值的 不等
2、式转化为一元一次不等式或一元二次不等式 去绝对值符号常见的方 法有 根据绝对值的定义 分区间讨论 零点分段法 图像法 2 绝对值三角不等式 a 的几何意义表示数轴上的点到原点的距离 a b 的几何意义表示数 轴上两点间的距离 a b a b a b R ab 0时等号成立 a c a b b c a b c R a b b c 0时等号成立 a b a b a b a b R 左边 成立的条件是ab 0 右边 成立的条件是ab 0 a b a b a b a b R 左边 成立的条件是ab 0 右边 成立的条件是ab 0 4 平均值不等式 1 定理1 若a b R 则a2 b2 2ab 当且仅
3、当a b时取 5 不等式的证明方法 1 比较法 2 分析法 3 综合法 4 反证法 5 几何法 6 放缩法 题型探究 类型一 绝对值不等式的解法 例1 解下列关于x的不等式 1 x 1 x 3 解答 解 方法一 x 1 x 3 两边平方得 x 1 2 x 3 2 8x 8 x 1 原不等式的解集为 x x 1 方法二 分段讨论 当x 1时 有 x 1 x 3 此时x 当 1 x 3时 有x 1 x 3 即x 1 此时1 x 3 当x 3时 有x 1 x 3 x 3 原不等式解集为 x x 1 2 x 2 2x 5 2x 解答 原不等式变形为2 x 2x 5 2x 解得x 7 当x 2时 原不等
4、式变形为x 2 2x 5 2x 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式 可先求出使每个含绝 对值符号的代数式等于零的未知数的值 将这些值依次在数轴上标注出 来 它们把数轴分成若干个区间 讨论每一个绝对值符号内的代数式在 每一个区间的符号 转化为不含绝对值的不等式去解 这种方法通常称为 零点分段法 跟踪训练1 已知函数f x x a 其中a 1 1 当a 2时 求不等式f x 4 x 4 的解集 解答 当x 2时 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 当2 x 4时 f x 4 x 4 无解 当x 4时 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 所以f x 4 x 4
5、的解集为 x x 1或x 5 2 已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x 1 x 2 求a的值 解答 解 记h x f 2x a 2f x 又已知 h x 2的解集为 x 1 x 2 类型二 不等式的证明 证明 a b c d a b 0 b c 0 c d 0 证明 反思与感悟 不等式证明的基本方法是比较法 分析法 综合法 在证 明时注意对所证不等式恰当分组 选择适当的方法进行证明 跟踪训练2 已知a b c R 且ab bc ca 1 求证 证明 因此只需证 a b c 2 3 即证a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 根据条件 只需证a2 b2 c2 1 ab
6、bc ca 证明 ab bc ca 1 原不等式成立 类型三 利用平均值不等式求最值 例3 已知x y z R x 2y 3z 0 则 的最小值为 答案解析 3 当且仅当x 3z时取 反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型 1 当和为定值时 积有最大值 2 当积为定值时 和有最小值 在具体应用基本不等式解题时 一定要 注意适用的范围和条件 一正 二定 三相等 答案解析 4 类型四 恒成立问题 例4 设函数f x x 1 x 4 a 1 当a 1时 求函数f x 的最小值 解答 解 当a 1时 f x x 1 x 4 1 x 1 4 x 1 4 f x min 4 综上 实数a的取值
7、范围为 0 2 解答 反思与感悟 不等式恒成立问题 通常是分离参数 将其转化为求最 大 最小值问题 当然 根据题目特点 还可能用变更主次元 数形结 合等方法 跟踪训练4 已知f x ax 1 a R 不等式f x 3的解集为 x 2 x 1 1 求a的值 解答 解 由 ax 1 3 得 4 ax 2 f x 3的解集为 x 2 x 1 当a 0时 不合题意 a 2 h x 1 k 1 即k的取值范围是 1 解答 达标检测 12435 解析 正确 c 1 lg c 0 不正确 当0 c 1时 lg c 0 正确 2c 0 1 给出下列四个命题 若a b c 1 则alg c blg c 若a b
8、 c 0 则alg c blg c 若a b 则a 2c b 2c 若a b 0 c 0 其中正确命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案解析 A B C D 2 设a b为正实数 以下不等式恒成立的是 解析 不恒成立 因为a b时取 恒成立 因为a b均为正数 不恒成立 当a 2 b 1时 a2 b2 5 4ab 3b2 5 a2 b2 4ab 3b2 12435 答案解析 12435 A a b c B c b a C c a b D b a c 答案解析 12435 9 8 b a 35 53 b c 32 25 a c b a c 故选C 12435 原不等式的解集为 2 0
9、 解答 12435 5 若不等式 x a x 2 1对任意实数x恒成立 求实数a的取值范围 解答 解 设y x a x 2 则ymin a 2 因为不等式 x a x 2 1对任意x R恒成立 所以 a 2 1 解得a 3或a 1 1 本章的重点是平均值不等式 绝对值不等式和不等式的证明方法 要特 别注意含绝对值不等式的解法 2 重点题型有利用不等式的基本性质 平均值不等式 绝对值不等式证 明不等式或求函数最值问题 解绝对值不等式 3 重点考查利用不等式的性质 平均值不等式求函数的最值 含参数的 绝对值不等式有解 解集是空集或恒成立问题 4 证明不等式的基本方法及一题多证 证明不等式的基本方法主要有比 较法 综合法 分析法 反证法 放缩法等 证明不等式时既可探索新的 证明方法 培养创新意识 也可一题多证 开阔思路 活跃思维 目的 是通过证明不等式发展逻辑思维能力 提高数学素养 规律与方法 本课结束
