《北师大数学选修4-5同步指导课件：第二章 几个重要的不等式 1.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学选修4-5同步指导课件：第二章 几个重要的不等式 1.1（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 1 柯西不等式 1 1 简单形式的柯西不等式 学习目标 1 认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式 理解 它们的几何意义 2 会用柯西不等式证明一些简单的不等式 会求某些特定形 式的函数的最值 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点 简单形式的柯西不等式 思考1 a2 b2 c2 d2 与4abcd的大小关系如何 那么 a2 b2 c2 d2 与 ac bd 2的大小关系又如何 答案 a2 b2 c2 d2 4abcd a2 b2 c2 d2 ac bd 2 思考2 当且仅当a b且c d时 a2 b2 c2 d2 4abcd 那么在什 么条件下 a2 b2 c
2、2 d2 ac bd 2 答案 当且仅当ad bc时 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 思考3 若向量 a b 向量 c d 你能从向量的数量积与向量 模的积之间的关系发现怎样的不等式 梳理 1 简单形式的柯西不等式 定理1 对任意实数a b c d 有 a2 b2 c2 d2 当向量 a b 与向量 c d 时 等号成立 简单形式的柯西不等式的推论 a b c d a b c d为非负实数 a b c d R a b c d R 以上不等式 当向量 a b 与向量 c d 共线时 等号成立 ac bd 2 共线 ac bd ac bd 2 柯西不等式的向量形式 设 是任意两个向量 则
3、当向量 时 等号成立 共线 题型探究 类型一 利用柯西不等式证明不等式 例1 1 已知a2 b2 1 x2 y2 1 求证 ax by 1 证明 当且仅当a b c时 等号成立 证明 反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时 要抓住不 等式的基本特征 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 其中a b c d R或 a b c d 其中a b c d R 找出待证不等式中相应的两 组数 当这两组数不太容易找时 需分析 增补 特别是对数字的增补 如a 1 a 变形等 证明 证明 a1 a2 b1 b2 R 例2 若实数x y z满足x2 4y2 z2 3 求证 x 2y z 3 证明
4、 证明 因为x2 4y2 z2 3 所以由柯西不等式得 x2 2y 2 z2 12 12 12 x 2y z 2 整理得 x 2y z 2 9 即 x 2y z 3 反思与感悟 1 抓住柯西不等式的特征 方 和 积 构造使用柯西不 等式的条件 2 此类题也可以用三角不等式 把 ABO的三个顶点分别设为O 0 0 A x1 x2 B y1 y2 即可 证明 a c a b b c 又a b c a c 0 a b 0 b c 0 证明 类型二 利用柯西不等式求最值 例3 若3x 4y 2 试求x2 y2的最小值及最小值点 解 由柯西不等式 得 x2 y2 32 42 3x 4y 2 解答 反思与
5、感悟 利用柯西不等式求最值 1 先变形凑成柯西不等式的结构特征 是利用柯西不等式求解的先决 条件 2 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式 但只要适当添加上 常数项或和为常数的各项 就可以应用柯西不等式来解 这也是运用柯 西不等式解题的技巧 3 有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的 但在 运用过程中 每运用一次前后等号成立的条件必须一致 不能自相矛盾 否则就会出现错误 多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之 一 跟踪训练3 已知a b R 且9a2 4b2 18 求3a 2b的最值 解答 解 由柯西不等式 得 9a2 4b2 12 12 3a 2b 2 9a2 4b2
6、18 36 3a 2b 2 3a 2b 6 达标检测 12435 解析 a2 b2 32 22 3a 2b 2 当且仅当3b 2a时取等号 所以 3a 2b 2 4 13 1 已知a b R a2 b2 4 则3a 2b的最大值为 答案解析 12435 解析 a2 b2 12 12 a b 2 4 当且仅当a b 1时 等号成立 a2 b2 2 2 已知a 0 b 0 且a b 2 则 答案解析 12435 最小值为9 答案解析 9 12435 解析 a2 b2 m2 n2 ma nb 2 25 m2 n2 5 答案解析 当且仅当an bm时取等号 12435 5 已知a2 b2 1 求证 acos bsin 1 证明 证明 1 a2 b2 a2 b2 cos2 sin2 acos bsin 2 acos bsin 1 规律与方法 1 利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数 应用时要对照柯西不等 式的原形 进行多角度的尝试 2 柯西不等式取等号的条件的记忆方法 如 a2 b2 c2 d2 ac bd 2等号成立的条件是ad bc 可以把a b c d看成等比 则ad bc来联想记忆 本课结束
