《北师大数学选修4-5同步指导课件：第一章 不等关系与基本不等式 3 第2课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学选修4-5同步指导课件：第一章 不等关系与基本不等式 3 第2课时（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 平均值不等式求最值 第一章 3 平均值不等式 学习目标 1 理解用平均值不等式求最值所需条件 2 会用平均值不等式求最值 3 能用平均值不等式解决简单的实际问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 答案 三个实数均为正数 三个正数的和 或积 为定值 三个正数可以相等 知识点 利用平均值不等式求最值 思考2 在利用三元平均值不等式求最值时要注意满足什么条件 梳理 1 设x y都是正数 则有 若x y S 和为定值 则当 时 积xy取得最大值 若xy P 积为定值 则当 时 和x y取得最小值 2 设x y z都是正数 则有 若x y z S 和为定值 则当 时 积xyz取
2、得最大值 若xyz P 积为定值 则当 时 和x y z取得最小值 x y x y x y z x y z 题型探究 类型一 利用平均值不等式求最值 命题角度1 二元平均值不等式的应用 解答 f x 的最大值是 12 解答 反思与感悟 在应用平均值不等式求最值时 分以下三步进行 1 首先看式子能否出现和 或积 的定值 若不具备 需对式子变形 凑 出需要的定值 2 其次 看所用的两项是否同正 若不满足 通过分类解决 同负时 可提取 1 变为同正 3 利用已知条件对取等号的情况进行验证 若满足 则可取最值 若不 满足 则可通过函数的单调性或导数解决 跟踪训练1 已知x 0 y 0 且x 2y xy
3、 30 求x y的最大值 解答 命题角度2 三元平均值不等式的应用 解答 当且仅当x 1 x 1 3 2x 即x 3时等号成立 ymin 4 解答 反思与感悟 1 利用三元平均值不等式求最值 可简记为 积定和最小 和定积最大 2 应用平均值不等式 要注意当三个条件 一正 二定 三相等 同时具 备时 方可取得最值 其中定值条件决定着平均值不等式应用的可行性 获得定值需要一定的技巧 如 配系数 拆项 分离常数 平方变形 等 解答 2 已知x R 求函数y x 1 x2 的最大值 解答 2x2 1 x2 1 x2 2 类型二 解决恒成立问题 答案解析 当且仅当x y时 等号成立 2 若不等式x2 a
4、x 1 0对于一切x 0 2 恒成立 则a的取值范围是 答案解析 2 解析 x2 ax 1 0 x 0 2 当且仅当x 1时等号成立 反思与感悟 解决某些含参数的不等式恒成立问题时 可通过分离参数 的方法 使参数与变量分别位于不等式两端 从而将问题转化为求关于 变量的函数的最值 进而通过平均值不等式求出参数的取值范围 解答 解 由x 0 y 0 且x y 4 类型三 利用平均值不等式解决实际问题 例4 某森林出现火灾 火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延 消防 站接到警报立即派消防队员前去 在火灾发生后5分钟到达救火现场 已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2 所消耗的灭火材料 劳
5、务津贴等费用为每人每分钟125元 另附加每次救火所耗损的车辆 器械和装备等费用平均每人100元 而烧毁一平方米森林大约损失60元 问应该派多少消防队员前去救火 才能使总损失最少 解答 解 设派x名消防员前去救火 用t分钟将火扑灭 总损失为y y 灭火材料 劳务津贴费 车辆 器械 装备费 森林损失费 125tx 100 x 60 500 100t 即当x 27时 y有最小值36 450 故应该派27名消防队员前去救火 才能使总损失最少 最少损失为36 450元 反思与感悟 利用平均值不等式解决实际问题的步骤 1 分析题意 建立函数 或不等式 模型 2 化简整理使表达式出现平均值不等式的结构形式
6、3 考查是否具备利用平均值不等式求解的条件 跟踪训练4 有一块边长为36 cm的正三角形铁皮 从它的三个角上剪下 三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器 要使这个容器的容 积最大 剪下的三个四边形面积之和等于多少 最大容积是多少 解答 解 剪下的三个全等的四边形如图所示 达标检测 解析 x 0 答案解析 12435 12435 2 已知x为正数 下列各选项求得的最值正确的是 答案解析 12435 C中 x 0 12435 3 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站 10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么 要使 这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 A 5千米处 B 4千米处 C 3千米处 D 2千米处 答案解析 12435 答案解析 12435 解析 因为a 0 b 0 答案解析 9 规律与方法 1 利用平均值不等式求最值 关键是对式子进行恰当的变形 合理构造 和式 与 积式 的互化 必要时可多次应用基本不等式 注意一定要求出 使 成立的自变量的值 这也是进一步检验是否存在最值的重要依 据 本课结束
