《北师大数学选修4-5同步指导课件：第一章 不等关系与基本不等式 2.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学选修4-5同步指导课件：第一章 不等关系与基本不等式 2.2（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 2 绝对值不等式的解法 第一章 2 含有绝对值的不等式 学习目标 1 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x a x b c x a x b c 2 理解并掌握绝对值不等式的几种解法 并能根据不等式的 结构特征选择适当方法求解 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 思考1 x 2说明实数x有什么特征 答案 因为x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2 所以x 2或x 2 思考2 若 2x 3 5 求x的取值范围 答案 x 1 x 4 梳理 1 含绝对值不等式 x a与
2、 x a的解法 x a a x a a 0 a 0 x a a 0 a 0 a 0 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c R x R且x 0 x a或x a c ax b c ax b c或ax b c 知识点二 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 思考 如何去掉 x a x b 的绝对值符号 答案 采用零点分段法 即令 x a x b 0 得 x1 a x2 b 不妨设a b 梳理 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 1 利用绝对值不等式的 求解 体现数形结合思想 理解绝对值
3、 的几何意义 给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键 2 以绝对值的 为分界点 将数轴分为几个区间 利用 零点分段法 求解 体现分类讨论的思想 确定各个绝对值符号内多项式的正 负性 进而去掉绝对值符号是解题关键 3 通过构造函数 利用函数的图像求解 体现函数与方程的思想 正确 求出函数的零点并画出函数图像 有时需要考查函数的增减性 是解题关 键 特别提醒 解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号 去绝对值符号 的关键是 零点分段 法 几何意义 零点 题型探究 类型一 ax b c c 0 与 ax b c c 0 型的不等式的解法 例1 解下列不等式 1 5x 2 8 解答 2 2 x 2 4
4、 解答 由 得x 2 2或x 2 2 x 0或x 4 由 得 4 x 2 4 2 x 6 原不等式的解集为 x 2 x 0或4 x 6 反思与感悟 ax b c和 ax b c型不等式的解法 1 当c 0时 ax b c ax b c或ax b c ax b c c ax b c 2 当c 0时 ax b c的解集为R ax b c的解集为 3 当c 0时 ax b c的解集为R ax b c的解集为 由 得x 2 3或x 2 3 x 1或x 5 由 得 4 x 2 4 2 x 6 原不等式的解集为 x 2 x 1或5 x 6 方法二 3 x 2 4 3 x 2 4或 4 x 2 3 5 x
5、6或 2 x 1 原不等式的解集为 x 2 x 1或5 x 6 跟踪训练1 解下列不等式 1 3 x 2 4 解答 2 x 1 4 2 解答 解 x 1 4 2 2 x 1 4 2 2 x 1 6 不等式 x 1 4 2的解集为 x 5 x 1或3 x 7 类型二 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 例2 解关于x的不等式 3x 2 x 1 3 解答 解 方法一 分类 零点分段 讨论法 1把实数轴分为三个区间 在这三个区间上根据绝对值的定义 代数式 3x 2 x 1 有不同的解析表达式 因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集 因为当x 1时 3x
6、 2 x 1 3x 2 x 1 4x 3 于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集 方法二 构造函数f x 3x 2 x 1 3 则原不等式的解集为 x f x 0 作出函数f x 的图像 如图 反思与感悟 x a x b c c 0 x a x b c c 0 型不等式的 三种解法 分区间 零点分段 讨论法 图像法和几何法 分区间讨论的方 法具有普遍性 但较麻烦 几何法和图像法直观 但只适用于数据较简 单的情况 跟踪训练2 解不等式 x 7 x 2 3 解答 解 方法一 x 7 x 2 可以看成数轴上的动点 坐标为x 到对应点 7的距离与到对应点2的距离的差 先找到这个差等于3的点 即
7、x 1 由图易知不等式 x 7 x 2 3的解为x 1 即x 1 方法二 令x 7 0 x 2 0 得x 7 x 2 当x 7时 不等式变为 x 7 x 2 3 9 3成立 x 7 当 7 x 2时 不等式变为x 7 x 2 3 即2x 2 x 1 7 x 1 当x 2时 不等式变为x 7 x 2 3 即9 3不成立 x 原不等式的解集为 1 方法三 将原不等式转化为 x 7 x 2 3 0 构造函数y x 7 x 2 3 作出函数的图像 由图像可知 当x 1时 y 0 即 x 7 x 2 3 0 所以 原不等式的解集为 1 类型三 含绝对值不等式的恒成立问题 例3 已知函数f x 2x 1
8、2x a 1 当a 3时 求不等式f x 6的解集 解答 解 当a 3时 f x 2x 1 2x 3 f x 6等价于 2x 1 2x 3 6 0 令g x 2x 1 2x 3 6 作出y g x 的图像 如图 f x 6的解集为 1 2 2 若关于x的不等式f x a恒成立 求实数a的取值范围 解答 解 f x 2x 1 2x a 2x 1 2x a a 1 f x min a 1 要使f x a恒成立 只需 a 1 a成立即可 由 a 1 a 得a 1 a或a 1 a 引申探究 若f x 2x 1 2x a 且f x a恒成立 求a的取值范围 解答 解 f x 2x 1 2x a 2x 1
9、 2x a a 1 f x max a 1 f x a恒成立 a 1 a 当a 0时 1 0 无解 当a 0时 无解 反思与感悟 当不等式的解集为R或为空集时 都可以转化为不等式恒 成立问题 f x a恒成立 f x max a f x a恒成立 f x min a 跟踪训练3 已知不等式 x 2 x 3 m 根据以下情形分别求出m的取 值范围 1 若不等式有解 解答 解 方法一 因为 x 2 x 3 的几何意义为数轴上任意一点P x 与两 定点A 2 B 3 距离的差 即 x 2 x 3 PA PB 则 PA PB max 1 PA PB min 1 即 1 x 2 x 3 1 若不等式有解
10、 m只要比 x 2 x 3 的最大值小即可 即m 1 m的取值范围为 1 方法二 由 x 2 x 3 x 2 x 3 1 可得 1 x 2 x 3 1 若不等式有解 则m 1 2 若不等式的解集为R 解答 解 方法一 若不等式的解集为R 即不等式恒成立 m只要比 x 2 x 3 的最小值还小 即m 1 m的取值范围为 1 方法二 若不等式的解集为R 则m 1 3 若不等式的解集为 解答 解 方法一 若不等式的解集为 m只要不小于 x 2 x 3 的最大值 即可 即m 1 m的取值范围为 1 方法二 若不等式的解集为 则m 1 达标检测 12435 解析 x 1 3 则x 1 3或x 1 3 因
11、此x 4或x 2 1 不等式 x 1 3的解集是 A x x 4或x 2 B x 4 x 2 C x x 4或x 2 D x 4 x 2 答案解析 12435 答案解析 12435 解析 x 1 x 2 表示数轴上一点到 2 1两点的距离之和 根据 2 1之间的距离为1 可得到与 2 1距离和为5的点是 4 1 因此 x 1 x 2 5的解集是 4 1 3 不等式 x 1 x 2 5的所有实数解的集合是 A 3 2 B 1 3 答案解析 12435 解析 x 5 x 3 x 5 x 3 2 m 2 4 已知x为实数 且 x 5 x 3 m有解 则m的取值范围是 A m 1 B m 1 C m
12、2 D m 2 答案解析 12435 5 解不等式 2x 1 3x 2 8 解答 x 规律与方法 1 解不等式 ax b c ax b c 1 当c 0时 ax b c c ax b c 解之即可 ax b c ax b c 或ax b c 解之即可 2 当c 0时 由绝对值的定义知 ax b c的解集为 ax b c的解集 为R 2 解 x a x b c x a x b c型的不等式的核心步骤是 零点分 段 即 令每个绝对值符号里的一次式为零 求出相应的根 把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式 解这些不等式 求出 它们的解集 这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集 本课结束
