《北师大数学必修二同步配套课件：第二章 解析几何初步2.2.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学必修二同步配套课件：第二章 解析几何初步2.2.2（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 2 2 圆的一般方程 1 圆的一般方程的定义 当D2 E2 4F 0时 二元二次方程x2 y2 Dx Ey F 0表示一个圆 这 时这个方程叫作圆的一般方程 做一做1 圆x2 y2 4x 0的圆心坐标和半径分别为 A 0 2 2B 2 0 4 C 2 0 2D 2 0 2 解析 圆的方程可化为 x 2 2 y2 4 可知圆心坐标为 2 0 半径为2 故 选D 答案 D 2 方程x2 y2 Dx Ey F 0表示的图形 做一做2 已知方程x2 y2 4x 4y 10 k 0表示圆 则k的取值范围 是 A k2 C k 2D k 2 解析 依题意有 4 2 42 4 10 k 0 解得k 2
2、 答案 B 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 二元二次方程x2 y2 Dx Ey F 0一定是某个圆的方程 2 圆的方程中不能含有xy这样的项 3 x2 y2 Dx Ey F 0一定表示圆的方程的条件为D2 E2 4F 0 4 若圆过原点 则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常数 项肯定为0 探究一探究二探究三易错辨析 对圆的一般方程的理解 例1 已知方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0 若该方程表示圆 求 m的取值范围 分析 根据二元二次方程表示圆的条件建立关于m的不等式求解 解 若该方程表示圆 则D2 E2 4F 2m 2 2 2 4 m2 5
3、m 0 探究一探究二探究三易错辨析 反思感悟1 判断方程x2 y2 Dx Ey F 0是否表示圆的两种方法 1 配方法 对形如x2 y2 Dx Ey F 0的二元二次方程可以通过 配方变形成 标准 形式后 观察是否表示圆 并求圆心半径 2 运用圆的一般方程的判断方法求解 即通过判断D2 E2 4F是 否为正 确定它是否表示圆 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练1下列方程中 表示圆的是 A x2 y2 2x 2y 2 0 B x2 y2 2xy y 1 0 C x2 2y2 2x 4y 3 0 D x2 y2 4x 6y 6 0 解析 二元二次方程若表示圆 须满足x2 y2系数相同 没有xy项
4、 且 D2 E2 4F 0 即可排除A B C 故选D 答案 D 探究一探究二探究三易错辨析 探究二待定系数法求圆的一般方程 例2 ABC的三个顶点的坐标分别为A 1 5 B 2 2 C 5 5 求 ABC的外接圆的方程 分析 所求圆经过A B C三点 因此三点的坐标应适合圆的方程 可 设出一般方程代入点坐标解方程组即可确定圆的方程 探究一探究二探究三易错辨析 解 设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 ABC的外接圆的方程为x2 y2 4x 2y 20 0 探究一探究二探究三易错辨析 反思感悟1 用待定系数法求圆的一般方程分三步 1 设出一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 2 根
5、据题意 列出关于D E F的方程组 3 解出D E F的值代入即得圆的一般方程 2 对圆的一般方程和标准方程的选择 1 如果由已知条件容易求得圆心坐标和半径或需用到圆心坐标 或半径来列方程组时 通常设圆的标准方程求解 2 如果已知条件与圆心坐标和半径均无直接的关系 那么可通过 设圆的一般方程求解 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练2求圆心在直线3x 2y 0上 并且与x轴交于A 2 0 和 B 6 0 两点的圆的方程 故所求圆的方程为x2 y2 4x 6y 12 0 探究一探究二探究三易错辨析 用圆的几何性质求圆的方程 例3 经过A 2 4 B 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 求
6、圆的方程 分析 由于圆心在线段AB的垂直平分线上 可以先求AB的中垂线 方程 再设出圆心坐标 建立方程 最后求半径 探究一探究二探究三易错辨析 所以AB的中垂线方程为y x 1 于是设圆心的坐标为 a a 1 由圆的几何性质知 a 3 2 a 2 2 32 a 1 2 解得a 1或a 3 当a 1时 圆心为 1 2 r2 13 所以圆的方程为 x 1 2 y 2 2 13 当a 3时 圆心为 3 4 r2 25 所求圆的方程为 x 3 2 y 4 2 25 综上所述 圆的方程为 x 1 2 y 2 2 13或 x 3 2 y 4 2 25 反思感悟求圆的方程关键是确定圆心坐标和圆的半径 已知圆
7、上 三点 可利用圆心是弦的垂直平分线的交点求圆心 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练3 ABC的三个顶点坐标分别为A 1 5 B 2 2 C 5 5 求其外接圆的方程 解 AB边的垂直平分线的方程为x 7y 9 0 BC边的垂直平分线的方程为x y 3 0 联立 得 圆心坐标为 2 1 ABC外接圆的方程为 x 2 2 y 1 2 25 探究一探究二探究三易错辨析 正解 点A在圆外 因忽视二元二次方程表示圆的条件而致误 典例 已知定点A a 2 在圆x2 y2 2ax 3y a2 a 0的外部 求a 的取值范围 错解 点A在圆外 a2 4 2a2 3 2 a2 a 0 a 2 纠错心得本题错
8、解的根本原因在于没有把握住圆的一般方程的 定义 二元二次方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆时 需D2 E2 4F 0 所 以 本题除了点在圆外的条件以外 还应注意方程表示圆这一隐含 条件 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练已知圆的方程为x2 y2 2x 0 点P x y 在圆上 求2x2 y2的 最值 解 由x2 y2 2x 0得y2 x2 2x 0 解得0 x 2 所以2x2 y2 x2 2x x 1 2 1 0 8 当x 0时 2x2 y2取最小值0 当x 2时 2x2 y2取最大值8 故2x2 y2的最小值为0 最大值为8 12345 1 若方程x2 y2 2ax by c 0表
9、示圆心为C 2 2 半径为2的圆 则a b c 的值依次为 A 2 4 4 B 2 4 4 C 2 4 4 D 2 4 4 答案 B 12345 2 若x2 y2 x y m 0表示一个圆 则m的取值范围是 解析 因为方程x2 y2 x y m 0表示圆 所以 1 2 12 4m 4m 2 0 即m 故选A 答案 A 12345 3 经过圆x2 2x y2 0的圆心C 且与直线x y 0垂直的直线方程是 解析 依题得圆x2 2x y2 0的圆心坐标为 1 0 因为直线x y 0的斜率为 1 所以所求直线的斜率为1 故所求的直线方程为x y 1 0 答案 x y 1 0 12345 4 经过点A
10、 5 2 B 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程为 所以所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 答案 x 2 2 y 1 2 10 12345 5 根据下列条件求圆的方程 1 经过点P 1 1 和坐标原点 且圆心在直线2x 3y 1 0上 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点P 3 2 3 过三点A 1 12 B 7 10 C 9 2 解 1 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 所以圆的标准方程为 x 4 2 y 3 2 25 12345 2 解法1 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 所以圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 解法2 过切点且与直线x y 1 0垂直的直线为y 2 x 3 与y 4x联 立可求得圆心坐标为 1 4 所以圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 12345 3 解法1 设圆的一般方程为x2 y2 Dx Ey F 0 所以圆的方程为x2 y2 2x 4y 95 0 12345 则AB的中垂线方程为3x y 1 0 同理得AC的中垂线方程为x y 3 0 所以圆的方程为 x 1 2 y 2 2 100
