《北师大数学必修二同步配套课件：第一章 立体几何初步1.7.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学必修二同步配套课件：第一章 立体几何初步1.7.2（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 7 2 柱 锥 台的体积 柱体 锥体 台体的体积公式 规律总结在台体的体积公式中 如果设S上 S下 S 就得到柱体的 体积公式V柱体 Sh 如果设S上 0 S下 S 就得到锥体的体积公式V锥体 Sh 因此 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 可表示为 由图可见 柱体 锥体的体积公式是台体的体积公式的特例 做一做1 已知正六棱台的上 下底面边长分别为2和4 高为 2 则其体积为 解析 由题意可得六棱台上 下底面的面积分别为 做一做2 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面 则 该圆锥的体积为 解析 设该圆锥的底面半径为r 母线长为l 高为h 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后
2、面的括号内打 错误的打 1 等底等高的两个柱体的体积相同 2 等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍 探究一探究二探究三思想方法 探究一柱体体积的计算 例1 正三棱柱侧面的一条对角线长为2 且与该侧面的底边 所成的角为45 则此三棱柱的体积为 解析 如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1中 面对角线 AB1 2 B1AB 45 答案 A 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟1 求柱体的体积关键是求其底面面积和高 底面面积利 用平面图形面积的求法 常转化为三角形及四边形 高常与侧棱 斜高及其在底面的正投影组成直角三角形 进而求解 2 一个几何体在空间中可以有不同的放置方法 例如三棱柱既可 以把底
3、面放在水平面上 也可以将其中的一个侧面放在水平面上 但在求其体积时 一定要分清棱柱真正的底面 放在水平面上的不 一定是底面 探究一探究二探究三思想方法 变式训练1 如图所示 某简单几何体的主视图与左视图都是边 长为1的正方形 且其体积为 则该几何体的俯视图可以是 探究一探究二探究三思想方法 答案 D 探究一探究二探究三思想方法 例2 如图所示 四边形ABCD为正方形 四边形PDAQ为直角 梯形 ADP 90 QA 平面ABCD PD QA QA AB PD 求棱 锥Q ABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值 分析 对于棱锥Q ABCD 其底面为正方形ABCD 高即为QA 易求 体积 对于三
4、棱锥P DCQ 若以 DCQ为底面 则应证明PQ是其高 然 后再计算 也可将三角形CDP作为底面 这时其高易证即为AD 从而 可求体积 探究二锥体体积的计算 探究一探究二探究三思想方法 解 设AB a 由题意知AQ即为棱锥Q ABCD的高 方法一 由于棱锥P DCQ与棱锥Q CDP是同一个棱锥 其体积相 等 而其底面是Rt CDP 面积S1 a 2a a2 取DP的中点N 连接QN 则QN AD 又AD DC AD DP DC DP D 所以AD 平面CDP 故QN 平面CDP 因此QN就是三棱锥Q CDP的高 且QN AD a 于是V1 V2 1 探究一探究二探究三思想方法 方法二 因为QA
5、 平面ABCD QA 平面PDAQ 所以平面PDAQ 平面ABCD 交线为AD 又四边形ABCD为正方形 DC AD 所以DC 平面PDAQ 于是得PQ DC 所以DQ2 PQ2 PD2 所以PQ QD 又DQ DC D 所以PQ 平面DCQ 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟怎样求锥体体积 1 锥体的体积公式V Sh既适合棱锥 也适合圆锥 其中棱锥可以 是正棱锥 也可以不是正棱锥 2 三棱锥的体积求解具有灵活性 因为三棱锥的任何一个面都可 以作为底面 所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转 换 使得转换后 该三棱锥的底面的面积易求 可求 高易求 可求 这一方法叫作等积法 探究一探究二
6、探究三思想方法 变式训练2若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形 则其体 积等于 解析 该圆锥的底面半径为R 由于轴截面是等腰直角三角形 因此 圆锥的高为R 答案 9 探究一探究二探究三思想方法 探究三台体体积的计算 例3 圆台的上 下底面半径分别为10 cm和20 cm 它的侧面 展开图扇环的圆心角为180 那么该圆台的表面积和体积分别是 多少 结果中保留 解 如图所示 设圆台的上底面周长为c 因为扇环的圆心角是 180 所以c SA 2 10 所以SA 20 同理可得SB 40 所以 AB SB SA 20 所以S表面积 S侧 S上 S下 10 20 20 102 202 1 100 c
7、m2 故圆台的表面积为1 100 cm2 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟求台体体积的一般方法是求出台体的上 下底面的面 积和高 然后套用公式V h计算求解 要充分利用截 面 轴截面 展开图等求出所需要的量 再代入公式计算 探究一探究二探究三思想方法 变式训练3体积为52的圆台 一个底面积是另一个底面积的9倍 那么截得这个圆台的圆锥的体积是 A 54 B 54 C 58D 58 解析 设上底面半径为r 则由题意得下底面半径为3r 设圆台高为 h1 答案 A 探究一探究二探究三思想方法 转化思想在求体积中的应用 典例 如图所示 已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1 且 AA1 底面
8、ABC 则三棱锥B1 ABC1的体积为 探究一探究二探究三思想方法 方法点睛转化思想是解决数学问题的基本思想 它将新的问题转 化为已知问题 复杂问题转化为简单问题 最终将不易解决的问题 转化为已解决的问题 如若所给几何体的体积不能直接利用公式得 出 则常用等积法 分割法 补形法等方法进行转化求解 答案 A 探究一探究二探究三思想方法 变式训练已知直三棱柱ABC A1B1C1 点C到AB的距离为3 cm 侧面 ABB1A1的面积为8 cm2 求直三棱柱的体积 解 补上一个相同的直三棱柱ACD A1C1D1 可以得到一个直四棱 柱ABCD A1B1C1D1 这个直四棱柱可以看成以ABB1A1为底面
9、的四棱柱DCC1D1 ABB1A1 所以点C到AB的距离即为C到底面ABB1A1的距离 12345 答案 A 1 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 则三棱锥D1 ACD的 体积是 12345 2 已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4 则该圆柱的体积为 A 2 B 4 C 8 D 16 解析 V圆柱 r2h 4 2 2 4 16 答案 D 12345 3 若一圆柱与圆锥的高相等 且轴截面面积也相等 那么圆柱与圆锥 的体积的比值为 解析 设圆柱底面半径为R 圆锥底面半径为r 高都为h 由已知得2Rh rh r 2R 答案 D 12345 4 已知某几何体的三视图如图所示 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 解析 由三视图可知该几何体为四棱锥 底面积S 400 高h 20 所以 12345 5 已知一个几何体的三视图如图所示 试计算其体积 解 由三视图可知 该几何体是由一个圆锥和一个正方体构成的
