《北师大数学必修三同步配套课件：第一章 统计1.8》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学必修三同步配套课件：第一章 统计1.8（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 8 最小二乘估计 2 首页 3 课前篇 自主预习 1 最小二乘法 如果有n个点 x1 y1 x2 y2 xn yn 可以用下面的表达式来刻画这 些点与直线y a bx的接近程度 y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 yn a bxn 2 使得上式达到最小值的直线y a bx就是我们所要求的直线 这种 方法称为最小二乘法 2 回归直线方程 4 课前篇 自主预习 做一做1 已知x与y之间的一组数据如下表 则y与x的线性回归方程y bx a 必过点 A 2 3 B 1 5 3 C 1 5 3 25 D 2 3 25 答案 C 5 课前篇 自主预习 3 线性回归分析 利用最小二乘法估计时
2、要先作出数据的散点图 如果散点图呈现 一定的规律性 我们再根据这个规律进行拟合 如果散点图呈现出 线性关系 我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程 如果散点 图呈现出其他的曲线关系 我们就要利用其他的曲线进行拟合 规律总结线性回归分析的步骤 1 作散点图 判断两个变量是否线性相关 若是 再执行以下步骤 4 代入公式计算b a的值 5 写出线性回归方程 6 根据回归系数的意义进行估计和判断 6 课前篇 自主预习 做一做2 设有一个回归方程为 1 5x 2 则变量x增加一个 单位时 A y平均增加1 5个单位 B y平均增加2个单位 C y平均减少1 5个单位 D y平均减少2个单位 解析 两个变
3、量线性负相关 变量x增加一个单位 y平均减少 1 5个单位 答案 C 7 课前篇 自主预习 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里画 错误的画 1 散点图能直观地反映数据的相关程度 2 任意一组数据都有一个对应的线性回归方程 3 散点图中的点越集中 两个变量的相关性越强 4 线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系 答案 1 2 3 4 5 8 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 求线性回归方程 例1 某市近5年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表 1 检验变量x y是否线性相关 2 求y对x的线性回归方程 分析 根据表中的数据 作出散点图 判断是否线性相关
4、 若 是 则根据公式求得a b 得线性回归方程 9 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 解 1 作出散点图 由散点图知变量x y线性相关 10 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 11 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 变式训练1若在一次试验中 测得 x y 的四组数值分别是A 1 3 B 2 3 8 C 3 5 2 D 4 6 则y与x之间的线性回归方程是 A y x 1 9B y 1 04x 1 9 C y 0 95x 1 04D y 1 05x 0 9 答案 B 12 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 回归直线的
5、性质 例2 下表提供了某种产品投入的广告费用x 单位 万元 与相 应销售金额y 单位 十万元 的几组数据 根据上表提供的数据 求出y关于x的线性回归方程是 y 0 25x 1 75 后来表中的某个数据被污染 则被污染的数据最有可 能是 A 2 8 B 2 5 C 2 6 D 3 6 13 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 答案 B 反思感悟回归直线y bx a一定经过样本点的中心 根据这 一性质可以快速地确定回归直线系数的值或者根据回归系数的值 确定未知数据 14 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 变式训练2已知x y的取值如下表所示 答案 B 15 课
6、堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 利用线性回归方程对总体进行估计 例3 对具有线性相关关系的变量x y 测得一组数据如下 根据上表 利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y 10 5x a 据此模型来预测当x 20时 y的估计值为 A 210 B 210 5C 211 5D 212 5 解析 由数据可知 代入回归直线方程得a 1 5 所以 y 10 5x 1 5 当x 20时 y 10 5 20 1 5 211 5 答案 C 反思感悟1 利用线性回归方程对总体进行估计 关键在于正确地 求出线性回归方程 2 利用线性回归方程进行预测和估计时 所得到的结果只是一个 估计值 而不是精
7、确值 16 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 变式训练3 1 根据下表样本数据 得到的回归方程为y bx a 若a 7 9 则x每增加1个单位 y就 A 增加1 4个单位B 减少1 4个单位 C 增加1 2个单位D 减少1 2个单位 2 从某一行业随机抽取12家企业 它们的生产量与生产费用的数 据如表所示 17 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 绘制生产量x和生产费用y相应数据对应的散点图 如果两个变量之间是线性相关关系 请用最小二乘法求出其线 性回归方程 如果一个企业的生产量是120台 请预测它的生产费用 18 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想
8、方法当堂检测 答案 B 2 解 散点图如图所示 根据散点图可知 两个变量 x和y之间的关系是线性相关关 系 下面用最小二乘法求线性回 归方程 19 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 20 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 3 在线性回归方程y 0 42x 124 22中 常数项124 22可以认为是 固定费用 它不随生产量的变化而变化 0 42可以认为是可变费用的 增长系数 即每增加1个单位的生产量就增加0 42个单位的费用 将 x 120代入线性回归方程得y 0 42 120 124 22 174 62 即如果一 个企业的生产量是120台 它的生产费用
9、约为174 62万元 21 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 线性回归方程的求法与应用 典例 一个车间为了规定工时定额 需要确定加工零件所花费 的时间 为此进行了10次实验 收集数据如下 1 画出散点图 2 求线性回归方程 3 关于加工零件的个数与加工时间 你能得出什么结论 分析 1 横坐标表示加工零件个数 纵坐标表示加工时间 建立平 面直角坐标系即可绘制散点图 2 利用散点图中点的走势即可得出变量之间是否线性相关 然后 利用最小二乘法求出线性回归方程 利用方程得出 3 中的预测结 论 22 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 解 1 散点图如图所示 由散
10、点图知二者呈线性相关关系 23 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 2 设线性回归方程为y bx a 列表并利用科学计算器进行有关计算 故所求线性回归方程为 y 0 668x 54 96 3 由线性回归方程可以得出每多加工10个零件 就多花费6 68时 24 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 方法点睛1 解决此类问题 因为已知y与x线性相关 所以只需代入 公式进行求解 鉴于代入很烦琐 因此要分步来求解 并且要注意运 算结果的正确性 2 根据线性回归方程来进行预测或估计时 要注意明确方程中的 各个量在实际问题的含义 不要混淆 做到有的放矢 3 线性回归方程中
11、的回归系数b代表x每增加一个单位 y平均增加 的单位数 而不是增加单位数 也就是说 此时对y的预测是平均预 测 25 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 变式训练下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程 中记录的产量x 单位 吨 与相应的生产能耗y 单位 吨标准煤 的几 组对应数据 1 请画出表中数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出y关于x的回归直线 方程y bx a 3 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤 试根 据 2 求出的回归直线方程 预测技改后生产100吨甲产品的生产能 耗比技改前降低多少吨标准煤 26 课堂篇 探究学习 探
12、究一探究二探究三思想方法当堂检测 解 1 由题设所给数据可得散点图 如图所示 因此 所求的回归直线方程为y 0 7x 0 35 3 由 2 的回归直线方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗 得降低的生产能耗为90 0 7 100 0 35 19 65 吨标准煤 27 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 1 工人月工资y 单位 元 依劳动生产率x 单位 千元 变化的线性回 归方程为y 50 80 x 下列判断正确的是 A 劳动生产率为1 000元时 工资为130元 B 劳动生产率提高1 000元 则工资平均提高80元 C 劳动生产率提高1 000元 则工资平均提高130元 D
13、 当月工资为210元时 劳动生产率为2 000元 答案 B 2 下列命题 线性回归方法就是寻找一条贴近已知样本点的直线 的数学方法 利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系 是否可以用线性关系来表示 通过线性回归方程y bx a可以估 计和预测变量的取值和变化趋势 其中正确的命题是 A B C D 答案 D 28 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 3 下表是x与y之间的一组数据 则y关于x的回归直线必过点 A 2 2 B 1 5 2 C 1 2 D 1 5 4 答案 D 29 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 4 登山族为了了解某山高y 单位 km
14、与气温x 单位 之间的关系 随机统计了4次山高与相应的气温 并制作了对照表 由表中数据 得到线性回归方程y 0 2x a a R 由此估计出山高 为7 2 km处的气温为 A 10 B 8 C 6 D 4 答案 C 30 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 5 正常情况下 年龄在18岁到38岁的人 体重y kg 对身高x cm 的回 归方程为 0 72x 58 2 张明同学 20岁 身高178 cm 他的体重应该 在 kg左右 解析 用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测 当x 178时 0 72 178 58 2 69 96 kg 答案 69 96 31 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思想方法当堂检测 6 某车间为了规定工时定额 需要确定加工某零件所花费的时间 为 此做了四次实验 得到的数据如下 1 求出y关于x的线性回归方程 2 试预测加工10个零件需要多少时间 故a 2 75 0 8 3 5 0 05 所以y 0 8x 0 05 2 将x 10代入回归直线方程 得y 0 8 10 0 05 7 95 所以预测加工10个零件需要7 95时
