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1、丰台区高三数学第一学期期末试卷（理科）2020.1 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1集合，则PQ=ABCD 2正视图俯视图21.621.5若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是ABCD3已知命题：，那么是A，B， C，D，4如果向量与共线且方向相反，那么的值为A-3B2 C D 5有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有A24种B48种C96种D120种6设偶函数在上为增函数，且，那么下列四个命题中一定正确的是ABC函数在点处的切线斜率 D函数在点
2、处的切线斜率开始,输出结束是否7程序框图如图所示，将输出的a的值依次记为a1，a2，an，其中且那么数列的通项公式为A B C D8用表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数的图象、x轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是A B CD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9复数= 10在ABC中，如果，那么= 11某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， 12过点且与圆相切的直线方程为 13已知x，y满足约束条件 那么的最小值为 14定义方程的实数根x0叫做函数的“新驻点”，如果函数，
3、（）的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是 三、解答题：本大题共6小题，共80分15.（本小题共13分）已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于（）求的值；（）当时，求函数的最大值和最小值及相应的x值16.（本小题共14分）直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上AA1BCDB1C1（）求证：ACB1C；（）若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD；（）当时，求二面角的余弦值17.（本小题共13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响（I） 求一名学生至少答对
4、第一、二两题中一题的概率；（）记为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求的分布列及数学期望18.（本小题共13分）已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于，两点（I）若，求直线的方程；（）若与的面积相等，求直线的斜率19.（本小题共14分）设函数（I）求的单调区间；（II）当0a注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题满分13分）已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于（）求的值；（）当时，求函数的最大值和最小值及相应的x值解：（）因为 ，所以 ，所以 所以 7分（）当 时
5、， ，所以 当，即时，当，即时， 13分16.（本小题满分14分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上（）求证：ACB1C；（）若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD；（）当时，求二面角的余弦值证明：（）在ABC中，因为 AB=5，AC=4，BC=3，所以 AC2+ BC2= AB2， 所以 ACBCAA1BCDB1C1E因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，所以 C C1AC因为 BCAC =C，所以 AC平面B B1C1C所以 ACB1C 5分（）证明：连结BC1，交B1C于E，DE因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以 侧
6、面B B1C1C为矩形，DE为ABC1的中位线，所以 DE/ AC1因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD，所以 AC1平面B1CD 9分（）解：由（）知ACBC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyzAA1BCDB1C1xyz则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 0, c)，B1 (3, 0, 4)设D (a, b, 0)（，），因为 点D在线段AB上，且， 即所以 ，所以 ，平面BCD的法向量为设平面B1 CD的法向量为，由 ， 得 ，所以 ，设二面角的大小为，所以 所以 二面角的余弦值为 14分17.（本小题满分13分）某校组织“上海世博会”知识
7、竞赛已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响（I） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（）记为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求的分布列及数学期望解：（I）设“学生答对第一题”为事件,“学生答对第二题”为事件所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为 5分（）的可能取值为0，1，2，3，且 ，所以，的分布列为01230.0080.0960.3840.512 13分18.（本小题满分13分）已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点（）若，求直线的方程；（）若与的面积相等，求直线的斜率解：（）依题意，直线的
8、斜率存在，因为 直线过点，可设直线：因为 两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 所以 所以 到直线的距离等于所以 ，得，所以 直线的方程为或 6分（）因为与的面积相等，所以，设 ，所以 ，所以 即（*）；因为，两点在圆上，所以 把（*）代入，得 ，所以 所以 直线的斜率， 即 13分19.（本小题满分14分）设函数（I）求的单调区间；（II）当0a2时，求函数在区间上的最小值解：（I）定义域为令，则，所以或因为定义域为，所以令，则，所以因为定义域为，所以所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 7分（II） （）因为0a2，所以，令 可得所以函数在上为减函数，在上为增函数当，即时，在区间上，在上为减函数，在上为增函数所以当，即时，在区间上为减函数所以综上所述，当时，；当时， 14分20.（本小题满分13分）已知函数，数列中，当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，；当时，得到常数列2,2,2，；当时，得到有穷数列，0（）若，求的值；（）设数列满足，求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；（）如果当时，都有，求的取值范围解：（）因为 ，且，所以 同理可得，即 3分（）证明：假设为数列中的第项，即；则；， 即。故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列 8分（）因为，且，所以 又因为当时， ，即，所以 当时，有 13分（若用其他方法解题，请酌情给分）
