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1、南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E-mail: - 1 -G C T 数 学 辅 导 教 程 第一部分 初等数学 1算 术 1.1 数的概念：自然数 整数 分数 分数单位 真分数 假分数 带分数 小数 有限小数 无限小数 循环小数 数位 百分数 1.2 数
2、的整除：倍数 约数 整除 奇数 偶数 质数(素数) 合数 质因数 公倍数 最小公倍数 公约数 最大公约数 互质数 判别正整数被 7，11，13 整除的方法减去 100113117 = 的倍数 例：2009 可被 7 整除；987987 可以被 7，11，13 整除. 100 以内质数: 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47， 53，59，61，67，71，73，,79，83，89，97 1.3 数的四则运算：加法(和)
3、 加法运算的交 换律和结合律 减法(差) 乘法(积) 乘法运算的交换律、结合律和分配律 除法(商) 除法与乘法的逆运算关系 循环小数都可化为分数， 纯 循环小数化成分数方法：如31933.0 =，999145541.0 =例 设 0.48181F = L 是无穷循环小数，其中 8 和 1 是循环位，试将 F 写成既约分数. 解：11053,11531194998148181.410 =+=+= FF L . 1.4 比和比例：概念 比例内、外项 比例尺 正比例关系 反比例关系
4、1.5 应用：四则运算应用 简单方程 比和比例 2数和代数式 2.1 实数及运算，数轴 加、减、乘、除(0 不能作除数)运算后仍为实数. 加法、乘法具有交换率、结合率、分配率. 乘方： nnaaaa =43421L个，例 43)5( ,2.1 开方： 若 axn= ，则nax = ，例 310 ,2 绝对值：= bababababaabnnnnnn)0( 1)0( )0( )( >= aaaaa
5、aaaaanmnpmpnmmn南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E-mail: - 4 -3集合、映射与函数 3.1 集合 概念：集合，元素， Aa 表示法：列举法 ,3 ,2 ,1 ,0 L=N ；描述法 ,51 Rxxx a ，开口向上； 0> ba 是 0>ab 的充分条件； 0>ab 是
6、0,0 >> ba 的必要条件. 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E-mail: - 5 -1>x 是 0lg >x 的充要条件. 函数的特性 (1)有界性 Mxf >>> NMbbaa ，则 NMNMNMMNaaaaaaloglog)(log loglog)(l
7、og =+= MnMMnManaanalog1log loglog = 换底公式 MaaaMMMabbaa=log1log logloglog 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教
8、程 E-mail: - 6 -4方 程 4.1 一元一次方程解法 4.2 一元二次方程 02=+ cbxax 判别式( R , , cba ) acb 42= 当 0> ，有不等二实根；当 0= ，有相等二实根(重根)；当 0 0= 0+= acbxaxxf 0)( =xf 的根 abx22,1= abx22,1= 无实根 0)( >xf
9、的解集 1xx abx2 Rx 0)( a 且 0b D. 0>a 且 0b 解： )0( 2+= acbxaxy 在 ) ,0 + 上单调增，则抛物线开口向上 0>a ；对称轴为abx2= ，只有 02=abx ，才能满足在 ) ,0 + 上单调增；又因 0>a ， 则 0 b . 选(C). 4.5 简单的一元高次方程、分式方程、指数方程、对数方程的解法及验根 对一元高次方程： 00111=+axaxaxannnnL ，有(广义韦达定理
10、)： nnnaaxxx121=+ L ，nnnnaaxxxxxx213121=+ L nnnnaaxxxx0121)1( , =LLL 5不 等 式 5.1 不等式的概念和性质 不等式的基本性质 若 cbba >> , ， 则 ca > 若 ba > ，则 cbca +>+ 若 0 , >> cba ，则 )()( , cbcabcac 注意:不等式两边同乘负数, 不等式变号! 若 0
11、 ,0 >>>> dcba ，则 bdac > 若 0>>ba ，则 nnba > )Z(+n 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E-mail: - 8 -若 0>>ba ，则 nnba > )Z(+n 基本不等式 若 Ra ，则 02a ； 若 Rba
12、 , ，则 abba 2 22+ ； 若 0 ,0 ba ，则 2abba+(平均值不等式)； 即：非负数的算术平均值大于等于几何平均值. bababa + (三角不等式). 即：三角形两边之差小于第三边, 三角形两边之和大于第三边. 例 (2004GCT) ABC 中， 5=AB ， 3=AC ， xA = ，该三角形 BC 边上的中线长是 x的函数 )(xfy = ，则当 x 在 ) ,0( 中变化时，函数 )(xf 取值的范围是( ). A. )5 ,0( &n
13、bsp; B. )4 ,1( C. )4 ,3( D. )5 ,2( 解：以 ACAB , 为邻边作平行四边形 ABDC ，则对角线 82 a ， axf )( 可化为 axfa )( 若 0>a ， axf )( 可化为 axf )( 及 axf )( ，解集为并集. 5.3 一元二次不等式的解法 如: 0232>+
14、 xx ，即 01223)61(32>+x ，解集为 R ； 0232+ xx 的解集为 ) ,2()1 ,( + Ux . 例 )0( 04322+0403222xxxx的解集为( ). A. )3 ,4 B. )0 ,4 C. 0 ,3( D. )1 ,0)3 ,4 U 解： 0)1)(3( ,0322>+&g
15、t;+ xxxx ， ) ,1()3 ,( + Ux ； 0 ,4 ,0)4( ,042+ xxxxx ，不等式组的解集为 )3 ,4 x . 选(A). 例 解不等式 0)4)(2)(1)(3()( >+= xxxxxf . 此类问题可列表如下： x )3 ,( )1 ,3( )2 ,1( )4 ,2( ) ,4( + )(xf + - + -
16、 + 则解集为 ) ,4()2 ,1()3 ,( + UU 例 设方程 02 )13(722=+ kkxkx 的两个实根分别在区间 )1 ,0( 和 )2 ,1( 内， 则 k 的取值范围是( ). A. )2 ,( B. )4 ,3()1 ,2( U C. )4 ,2( D. )3 ,1(
17、 解法 1：设 2 )13(7)(22+= kkxkxxf ，由题设条件，得 02 )0(2>= kkf ， 082 )1(2= kkf ，满足两个实根分别在区间 )1 ,0( 和 )2 ,1(内. 三个不等式联立解得 )4 ,3()1 ,2( Uk ，选(B). 解法 2：若 022=kk 即 1 =k 或 2 =k 时，则必有根 0=x ，不合题设，此时 A 中含 1 =k ，C、D 中含 2 =k ，故排除 A、C、D. 选(B). 5.4 一些特殊的代数不等式(分式不等式、无理不等式)和超越不等
18、式(指数不等式、对数不等式)的解法 例 不等式 265592+xxx的解集是( ). A )3 ,2( B 3 ,2 C ) ,3()2 ,( + U D ) ,3)2 ,( + U 解： 不要两边乘 652+ xx ，而用移项！ 0)3)(2(7265)65(259222+=+xxxxxxxxx072 2>+ xxQ 03)2)( &
19、gt; xx 南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E-mail: - 10 -得 ) ,3()2 ,( + Ux ，选(C). 例 求不等式 1323 >x 的解集. 解：可化为 1323 >x 或 1323 x ，得 6>x ；对于后者，联立解 023 x 和 423 x 的解集为 ) ,6()2 ,32 + Ux &nb
20、sp;6数列 6.1 数列的概念 数列 项 首项1a 通项na 通项公式 有穷数列 无穷数列 前 n 项的和nS 各项的和 S 已知nS ，求通项公式na 方法：1=nnnSSa ，但须验证 11Sa = 是否满足. 6.2 等差数列(算术数列) dnaan)1(1+= ， )(211 nnaanS += , dnnnaSn)1(211+= 等差中项：若 cba , , 成等差数列，则 cab +=2 例 已知方程 )2(2mxx + 0)2(
21、2=+ nxx 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=nm ( ). A. 1 B. 43C. 21D. 83解：设 4 个根为 ddd 341,241,41,41+ ，则 4613412414141=+=+ dddd ，得21=d ，则 4 个根为 47,45,43,41. 注意 24741=+ ， 24543=+ ，则16154543,1674741= nm ，21= nm ，选(C). 6.3 等比数列(几何数列) )0 ,0( &nbs
22、p; 111=qaqaann，qqaSnn=1)1(1，qqaaSnn=11南京航空航天大学 孙久厚教授 GCT 数学辅导教程 E-mail: - 11 -等比中项：若 cba , , 成等比数列，则 acb =2无穷递缩等比数列所有项之和 )1 ( 11(C) 1ab 解：2sin2sin22sin2cos2cossincossin
