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1、：沈晨宇数学的故事前序事先声明：本研究性学习报告作于3.4.2016，部分资料引自世界数学史及数学的故事及网络。本次研究性活动，我选择的主题是数学史的探究，意在重拾那些艰辛的数学发展道路上的人和事，提高我们的数学素养以及培养我们对数学的兴趣，也在警醒我们在平时的学校学习中能够去对数学有着更深刻的认识，而不要被课本上那些干巴巴的数学公式所迷惑了，也就产生了讨厌数学的情绪。我只是一名普通的学生，但我对于数学的热爱却超过其他人。在我眼中，那些数学公式都显得很迷人，很美丽。德国著名数学家卡尔弗里德里希高斯曾说过：数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深数学是
2、科学之王。德国数学家，集合论的创始人格奥尔格康托尔也曾说：数学的本质在于它的自由。数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。（摘自百度文库）想想，人类自诞生之日起开始产生了数学，发展至今，这可是人类智慧的最高体现，这在后面会提到。（为了表示创新，本报告以成书的形式展现）所以，请让我带领你们一起走进数学的世界，共感数学的魅力。 编者 序 3月4日2016年3月4日星期五目录前序1第一章：四大文明古国的数学史（一）古埃及5一、埃及数学产生的社会背
3、景5二、古埃及的数学成就61、算术62、代数83、几何9第二章：四大文明古国的数学史（二）古希腊和古巴比伦12古巴比伦人对数学发展的贡献12古希腊人对数学发展的贡献121、阿基米德对数学发展的贡献122、欧几里得对数学发展的贡献133、后期的希腊数学15第三章：四大文明古国的数学史（三）古中国及古印度16中国数学16高次方程16内插法16勾股解法17弧矢割圆术17纵横图18九章算术18印度数学伟大的“0”19第四章: 黑暗中世纪的数学成就20第五章：曙光在现初等数学的发展23初等代数23偷来的卡丹公式与复数23韦达（代数学之父）23代数几何学与初等几何学24帕斯卡天才少年（射影几何）24解析几
4、何24数论和概率25第六章：伟大的时代：变量的发展（分析数学）26牛顿和莱布尼茨的微积分26欧拉和柯西的微积分数学分析27欧拉近代数学先驱之一28线性代数、矩阵论与向量场28高等数学29第七章：希望之光愈发完整的数学体系30群论组合数学30数论30集合论数理逻辑31抽象代数学32拓扑学33拓扑的由来33莫比乌斯带与克莱因瓶34泛函分析36未来数学的发展36特别章一：数学三大危机37第一次数学危机37第二次数学危机37第三次数学危机37特别章二：数学九大问题38NP完全问题38霍奇猜想39庞加莱猜想39黎曼假设39杨米尔斯存在性和质量缺口40纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性40BSD猜想40费
5、马大定理40希尔伯特23问40特别章三：最美丽的十大数学公式42特别章四：三大数学软件的开发与应用45Mathematica45MATLAB47Maple50后序53推荐书目：54推荐视频：54第一章：四大文明古国的数学史（一）古埃及 一、埃及数学产生的社会背景埃及位于尼罗河岸，在古代分为两个王国，夹在两个高原中间的狭长谷地，叫做上埃及处于尼罗河三角洲的地带叫做下埃及这两个王国经过长时期的斗争，在公元前3200年实现了统一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)尼罗河经常泛滥，淹没良田在地界被冲刷的情况下，统治者要按不同数量征粮征税，这样，必须重新丈量土地实际上，埃及的几何学就起源于此希腊的历
6、史学家希罗多德(Herodo-tus，约公元前484-前424)在历史(Herodoti Historiae)一书中，明确指出：“塞索特拉斯(Sesostris)在全体埃及居民中间把埃及的土地作了一次划分他把同样大小的正方形土地分给所有的人，并要求土地持有者每年向他缴纳租金，作为他的主要税收如果河水泛滥，国王便派人调查并测量损失地段的面积这样，他的租金就要按照减少后的土地的面积来征收了我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了几何学，而希腊人又从那里学到了它”希腊数学家德谟克利特(Democritus，约公元前460-前357)也曾指出：“我不得不深信，几乎埃及人都会画证明各种直线的图形，
7、每个人都是拉绳定界的先师”所谓拉绳定界的先师(harpedonaptai)大概是指以拉绳为主要工具的测量师埃及人为了发展农业生产，必须注意尼罗河的泛滥周期，在实践中，积累了许多天文知识和数学知识譬如，他们注意到当天狼星和太阳同时出没之时，就是尼罗河洪水将至之兆并把天狼星的两个清晨上升的间隔当作一年，它包含365天把一年分成12个月，每个月是30个昼夜并逐步摸索出用日晷来测量时间大约在公元前1500年，埃及人就已经使用了水钟-漏壶，它是底部有洞的容器把这个容器灌满水，水从下面的孔里流完的这段时间作为计算时间的单位所有这些都蕴含了计算建造著名的金字塔，可推知是公元前四、五千年前的事根据对其结构、形
8、状的研究，可推测古代埃及人掌握了一定的几何知识，致使底两个边与正北的偏差，一个仅仅是230，一个是530这类的实际建筑，推动了埃及数学计算的发展综上，社会的生产、生活的实际需要，促使埃及数学的产生与发展。二、古埃及的数学成就1、算术古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制，但是不知道位值制古埃及人是用象形文字来表示数的，例如根据史料记载，上述象形文字似乎只限于表示107以前数由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”、“十位数”、“百位数”的个数但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算
9、过程比较简便乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着1212的计算方法，是从右往左读的右边用现代数字表示，这就是倍增法(duplatio)由下表可知，计算的方法是把12依次扩大2倍，那么1212为12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的数在右侧(现代阿拉伯数字在左侧)标记斜线，算得结果144在更早的时期，埃及人也曾采用“减半法”来计算乘法首先是将一乘数扩大10倍，然后再计算10倍的一半例如纸草书(卡芬版)第6页，计算1616，是按如下方法计算的，即减半法(mediatio)/1 16/10160/580合计256这种乘法的计
10、算方法是古代人计算技能的基础，是非常古老的方法希腊时期的学校曾讲授过埃及人的计算方法，到了中世纪，还讲授“倍增法”和“减半法”除法：埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在实际计算之中例如，计算112080(见兰德纸草书第69页) 180/10 8002 160/4320合计1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14个80分数：古埃及人对分数的记法和计算都比现在复杂得多例如，他们把2/3理解为两个部分，并且把能使“两个部分”变为一个部分叫做“第三部分”例如，这样，通过二个部分与第三部分；三个部分与第四部分的结合来表示出一个整体现在的西欧，有
11、时也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等语言来表达三分之一、四分之一这类分数的含义按此规律理解，五分之一可认为与四个部分结合成一个整体的第五部分从语言的角度，五分之二(twofifths)就无法表达了随着分数范围的不断扩大，计算方法的不断改进，埃及人用“单位分数”(分子是1的分数)来表示分数：对一般分数则拆成“单位分数”表示例如，(用现代符号表示)2、代数在兰德纸草书中，因为求含一个未知量的方程解法在埃及语中发“哈喔”(hau)音，故称其为“阿哈算法”“阿哈算法”实际上是求解一元一次方程式的方法兰德纸草书第26题则是简单一例用现代语言表达为：古埃及人是按照如下方法计
12、算的：把4加上它的1/4得5，然后，将15除以5得3，最后将4乘以3得12，则12即是所求的量这种求解方法也称“暂定前提”(false assumption)法，即：首先，根据所求的量而选择一个数在兰德纸草书第26题中，选择了4因为实际上，这个问题用列方程的方法很容易计算设所求量为x，则：解之得：x12在用“阿哈算法”求解的问题中，也含有求平方根的问题，柏林纸草书中有如下的问题：方形，两个正方形面积的和为100，试计算两个正方形的边长”不妨从“暂定的前提”出发，首先取边长为1的正方形，那么另一方形的边长分别为8和6如果列成现代的方程式求解，是很简单的所以，两个正方形的边长分别为8和6埃及人对“
13、级数”也有了简单的认识，在纸草书中，用象形文字写出一列数7，49，343，2401，16807，并与之对应一列词：“图画”，“猫”，“老鼠”，“大麦”，“容器”，最后，给出和数为19607实际上，这是公比为7的等比数列对此，有的数学史家解释为：“有7个人，每人有7只猫，每只猫能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麦，每穗大麦种植后可以长出7容器大麦”从这个题目中，可以写出怎样的一列数，它们的和是多少？这种题目就涉及到求数列和的问题3、几何埃及人创建的几何以适用工具为特征，以求面积和体积为具体内容他们曾提出计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、建筑中所用石料和其它材料多寡等法则埃及人能应用正确的公式来计算三角形、长方形、梯形的面积把三角形底边二等分，乘以高；同样，把梯形两平行边之和二等分，乘以高分别作为三角形和梯
