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1、高二数学 棱锥基本性质及其应用本周学习内容：棱锥的性质、侧面积公式及体积公式； 本周学习重点：棱锥的性质及其应用一、基本概念 1. 定义、概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面构成的几何体叫棱锥。2. 分类：按底面多边形的数，(底面、侧面、棱 、侧棱、顶点、高、斜高)3. 棱锥的性质：1. 平行于底面的截面与底面是相似的多边形；2. 有一个面是多边形，其余各面是三角形，但反之不然。4. 正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。判断一个棱锥是否是正棱锥必须满足下列两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的
2、射影是正多边形的中心。5. 正棱锥的性质：1. 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；2. 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。6. 棱锥的体积及侧面积：；棱锥的侧面积等各侧面三角形面积之和。二、相关例题： 例1. 判断问题：(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥。( )(2)所有的侧棱都相等的棱锥是正棱锥。( )(3)侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。( )例2. 如图正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为( C )A. 30 B. 60
3、 C. D. 例3. 若正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则底面与底面所成的二面角是( D )(A)15 (B)30 (C)45 (D)60分析：可利用二面角的定义或者说二面角的投影面积公式得到答案例4. 正四棱锥的侧棱与底面成45角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为( D )(A) (B) (C) (D)分析：可设棱高为1，通过转化可得顶点在底面的射影到正多边形的距离，进而可得。例5. 如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为，类比以上性质，体积为V三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一
4、点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4)，若A. B. C. D. 分析：通过类比分析可得答案或抓住割补的方法利用多面体的何种等于以P为顶点的各个棱锥的体积之和得到解决。例6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( A )例7. 已知正三棱锥的高是4，斜高是，则其中截面的面积为.分析：利用正棱锥的相关定义可得中截面与底面相似并利用面积比为相似比的平方可得中截面的面积。例8. 正三棱锥S-ABC的侧棱长为1，两条侧棱的夹角为45，过顶点A作截面
5、交SB于D，交SC于E，则ADE的周长的最小值为分析：利用侧面展开图可得到展开后的直线连接即为在原图中的最短线路。例9. A1、B1、C1分别是三棱锥S-ABC的三侧棱上三点，若分析：抓住，同时注意到：即可得。例10. 如图，三棱锥P-ABC中，PB底面ABC于B，BCA=90，点E，点F分别是PC，AP的中点。(1)求点B到侧面PAC的距离；(2)求异面直线AE与BF所成的角；(3)求二面角A-BE-F的大小。解：(1)PB平面ABC，平面PBC平面ABC又ACBC，AC平面PBC 侧面PAC侧面PBC又E为PC的中点，PB=BCBEPC从而BE侧面PAC，故BE的长就是点B到侧面PAC的距
6、离，在等腰RtPBC中，BE=4(2)取EP的中点为G，联结GF、GB则GFEA，在GFB中，AE与BF所成的角是说明：亦可利用向量的方法求得。(3)可以证明AEF就是二面角A-BE-F的平面角，从而亦可利用等积转换算出F点到平面ABE的高，从而得出二面角A-BE-F的平面角为例11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD底面ABCD.(1)求证：平面PAB平面PAD(2)求二面角A-PD-B的大小；(3)设AB=1，求点D到平面PBC的距离。解：(1)证明：又，平面PAB平面PAD(2)解：取PD的中点E，连接AE，BEAB平面PAD，AE是
7、BE在平面PAD上的射影，PAD是正三角形，AEPD，由三垂线定理得BEPD；AEB是二面角A-PD-B的平面角；在RtBAE中，二面角A-PD-B的大小为(3)解：取AD的中点F，连结AF，平面PAD平面ABCD，且PFAD，PF平面BCD，设点D到平面PBC的距离为h.VD-PBC=VP-BCDSPBCh=SBCDPF在PBC中，易知又；即点D到平面PBC的距离为例12. 四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABCD，AD=CD=1，BAD=120，ACB=90()求证：BC平面PAC；()求二面角D-PC-A的大小；()求点B到平面PCD的距离。解：(1)证明：PA底面ABCD，PA
8、BC，ACB=90，BCAC又PAAC=A，BC平面PAC。(2)ABCD，DAB=120ADC=60，又AD=CD=1ADC为等边三角形，且AC=1取AC的中点O，则DOAC，PA底面ABCD，PADO，DO平面PAC；过O作OHPC，垂足为H，连DH，由三垂线定理知DHPC。DHO为二面角D-PC-A的平面角，由二面角D-PC-A的大小为arctan2.(3)设点B到平面PCD的距离为d。ABCD，AB平面PCD点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离。例13. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，点E是SC上任意一点()求证：平面EBD平面SAC；()
9、设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；()当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120.解：()ABCD是正方形，BDAC，SA底面ABCD，SABD，SAAC=A，BD面SAC，又平面EBD平面SAC()由()知，BD面SAC，又平面SBD平面SAC，设ACBD=O，则平面SBD平面SAC=SO，过A作AFSO交SO于点F，则AF面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离ABCD是正方形，AB=2，又SA=4，SAO是Rt，SOAF=SAAO，点A到平面SBD的距离为()作BMSC于结DM，SA底面ABCD，AB=AD，SB=SD又CBAB，CDAD，CBSB，CDS
10、D，SBCSDC，DMSC，BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM要使BMD=120，只须即BMSC=SBBC，SC2=SB2+BC2，BM2SC2=SB2BC2，AB=BC，2SB2+2AB2=3SB2，SB2=2AB2，又AB2=SB2-SA2 AB2=SA2 故当时，二面角B-SC-D的大小为120本周参考例题：1. 下列命题正确的是( )(A)侧棱长都相等的棱锥是正棱锥(B)侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥(C)侧棱长相等且底面是正多边形的棱锥是正棱锥(D)侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥2. 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为C，P，Q分别是侧棱AA1、CC1上
11、的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为( )A. B. C. D. 3. 两个正三棱锥和一个正四棱锥的所有棱长都相等，如果将它们组成一个几何体，则这个几何体至少有几个面( )A. 5 B. 6 C. 12 D. 144. 在正三棱锥S-ABC中，ASB=40，M、N分别是SB、SC上的点，若SA=3，则AM+MN+NA的最小值为_5. 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2：3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_6. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且，AB=1，M是PB的中点。(1)证明：面PAD面PCD；(2)求AC
12、与PB所成的角；(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。7. 已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC、PEF都是正三角形，PFAB，(1)证明PC平面PAB；(2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；(3)若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求ABC答案：1. C.2. C 3. B 4. 5. 6. (2) (3)7. (2) (3)本周课题： 棱柱 本周内容： 了解棱柱的概念，掌握平行六面体，直平行六面体的概念；掌握平行六面体，长方体，正棱柱的性质；掌握直棱柱的侧面积公式与棱柱的体积公式，并能熟练进行相关计算。本周重点： 1、棱柱，直棱柱，正棱柱的概念和平行六面体的定义 2、棱柱中有关直线与直线，直线与平面，平面与平面的有关证明与计算。本周难点： 1、棱柱有关性质的灵活运用 2、棱柱中的有关证明与计算本周知识点： 1、棱柱的有关概念 有两个面平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点、对角线、高等概念。2、棱柱的性质 (1)侧棱都相等，侧面都是平行四边形； (2)底面与平行于底面的截面是全等的多边形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形3
