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1、2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)(2017新课标)=()A1+2iB12iC2+iD2i2(5分)(2017新课标)设集合A=1,2,4,B=x|x24x+m=0若AB=1,则B=()A1,3B1,0C1,3D1,53(5分)(2017新课标)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏4
2、(5分)(2017新课标)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A90B63C42D365(5分)(2017新课标)设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是()A15B9C1D96(5分)(2017新课标)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A12种B18种C24种D36种7(5分)(2017新课标)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成
3、绩看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩根据以上信息,则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8(5分)(2017新课标)执行如图的程序框图,如果输入的a=1,则输出的S=()A2B3C4D59(5分)(2017新课标)若双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A2BCD10(5分)(2017新课标)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()ABCD11(5分)(2017新课标)若x=2是函数f(
4、x)=(x2+ax1)ex1的极值点,则f(x)的极小值为()A1B2e3C5e3D112(5分)(2017新课标)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A2BCD1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13(5分)(2017新课标)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= 14(5分)(2017新课标)函数f(x)=sin2x+cosx(x0,)的最大值是 15(5分)(2017新课标)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 =16(5分)(2017新课标
5、)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点,则|FN|= 三、解答题:共70分解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤第1721题为必做题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17(12分)(2017新课标)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC面积为2,求b18(12分)(2017新课标)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频
6、率分布直方图如图:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关: 箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)附:P(K2k) 0.0500.010 0.001 K3.841 6.635 10.828 K2=19(12分)(2017新课标)如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC
7、=90,E是PD的中点(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角MABD的余弦值20(12分)(2017新课标)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足=(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=3上,且=1证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F21(12分)(2017新课标)已知函数f(x)=ax2axxlnx,且f(x)0(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e2f(x0)22(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,按所做的第一题
8、计分选修4-4:坐标系与参数方程(22(10分)(2017新课标)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值选修4-5:不等式选讲23(2017新课标)已知a0,b0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2参考答案一、选择题1【解答】解:=2i,故选 D2【解答】解:集合A=1,2,4,B=x|x24x+m=0若AB=1,则1A
9、且1B,可得14+m=0,解得m=3,即有B=x|x24x+3=0=1,3故选:C3【解答】解:设这个塔顶层有a盏灯,宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列,又总共有灯381盏,381=127a,解得a=3,则这个塔顶层有3盏灯,故选B4【解答】解:由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,V=3210326=63,故选:B5【解答】解:x、y满足约束条件的可行域如图:z=2x+y 经过可行域的A时,目标函数取得最小值,由解得A(6,3),则z=2x+y 的最小值是:15故选:A6【解答】解:4项工作分成3
10、组,可得:=6,安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,可得:6=36种故选:D7【解答】解:四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩)乙看到了丙的成绩,知自己的成绩丁看到甲、丁中也为一优一良,丁知自己的成绩,故选:D8【解答】解:执行程序框图,有S=0,k=1,a=1,代入循环,第一次满足循环,S=1,a=1,k=2;满足条件,第二次满足循环,S=1,a=1,k=3;满足条件,第三次满足循环,S=2,a=1,k=4;满足条件,第四次满足循环,S=2,a=1,k=5;满
11、足条件,第五次满足循环,S=3,a=1,k=6;满足条件,第六次满足循环,S=3,a=1,k=7;76不成立,退出循环输出,S=3;故选:B9【解答】解:双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线不妨为:bx+ay=0,圆(x2)2+y2=4的圆心(2,0),半径为:2,双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为:=,解得:,可得e2=4,即e=2故选:A10【解答】解:如图所示,设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,),可知MN=AB1=,NP=BC1=
12、;作BC中点Q,则PQM为直角三角形;PQ=1,MQ=AC,ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+1221()=7,AC=,MQ=;在MQP中,MP=;在PMN中,由余弦定理得cosMNP=;又异面直线所成角的范围是(0,AB1与BC1所成角的余弦值为11【解答】解:函数f(x)=(x2+ax1)ex1,可得f(x)=(2x+a)ex1+(x2+ax1)ex1,x=2是函数f(x)=(x2+ax1)ex1的极值点,可得:4+a+(32a)=0解得a=1可得f(x)=(2x1)ex1+(x2x1)ex1,=(x2+x2)ex1,函数的极值点为:x=2,x=1,当
13、x2或x1时,f(x)0函数是增函数,x(2,1)时,函数是减函数,x=1时,函数取得极小值:f(1)=(1211)e11=1故选:A12【解答】解:建立如图所示的坐标系,以BC中点为坐标原点,则A(0,),B(1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(x,y),=(1x,y),=(1x,y),则(+)=2x22y+2y2=2x2+(y)2当x=0,y=时,取得最小值2()=,故选:B三、填空题13【解答】解:由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型,其中,p=0.02,n=100,则DX=npq=np(1p)=1000.020.98=1.96故答案为:1.9614【解答】解:f(x)=sin2x+cosx=1cos2x+cosx,令cosx=t且t0,1,则f(t)=t2+t+=(t)2+1,当t=时,f(t)max=1,即f(x)的最大值为1,故答案为:115【解答】解:等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,可得