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1、/(2015年江苏)19. 已知函数。(1)试讨论的单调性;(2)若(实数c是与a无关的常数),当函数有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是,求c的值。(2015年安徽文)10.函数的图像如图所示,则下列结论成立的是( )(A) a0,b0,d0(B)a0,b0,c0(C)a0,b0,c0(D)a0,b0,c0,d0,函数f(x)=a (x0,+)。记xe为f(x)的从小到大的第n(n)个极值点。()证明:数列f(xn)是等比数列;()若对一切n,xn| f(xn)|恒成立,求a的取值范围。(2015年山东文)20. (本小题满分13分)设函数fx=x+alnx,g(x)=x2ex. 已知曲线
2、y=f(x) 在点处的切线与直线2x-y=0平行.()求a的值;()是否存在自然数k,使得方程在内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;()设函数(minp,q表示,p,q中的较小值),求m(x)的最大值.【答案】(I) ;(II) ;(III) .【解析】试题分析:(I)由题意知, ,根据即可求得.(II)时,方程在内存在唯一的根.设通过研究时,.又得知存在,使.应用导数研究函数的单调性,当时,单调递增.作出结论:时,方程在内存在唯一的根.(III)由(II)知,方程在内存在唯一的根,且时,时,得到.当时,研究得到当时,应用导数研究得到且.综上可得函数的最大值为.试题解析:
3、(I)由题意知,曲线y=f(x)在点处的切线斜率为,所以,又所以.(II)时,方程在内存在唯一的根.设当时,.又所以存在,使.因为所以当时,当时,所以当时,单调递增.所以时,方程在内存在唯一的根.(III)由(II)知,方程在内存在唯一的根,且时,时,所以.当时,若若由可知故当时,由可得时,单调递增;时,单调递减;可知且.综上可得函数的最大值为.考点:1.导数的几何意义;2.应用导数研究函数的单调性、最值.(2015年陕西文)15、函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】考点:导数的几何意义.(2015年陕西文)21. 设(I)求;(II)证明:在内有且仅有一个零点(记为),且.【答案】(I)
4、 ;(II)证明略,详见解析.【解析】试题分析:(I)由题设,所以,此式等价于数列的前项和,由错位相减法求得; (II)因为,所以在内至少存在一个零点,又,所以在内单调递增,因此,在内有且只有一个零点,由于,所以,由此可得故,继而得.试题解析:(I)由题设,所以 由 得 ,所以 (II)因为,所以在内至少存在一个零点,又所以在内单调递增,因此,在内有且只有一个零点,由于,所以由此可得故所以考点:1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列.(2015年四川文)15、已知函数f(x)2x,g(x)x2ax(其中aR).对于不相等的实数x1,x2,设m,n,现有如下命题:对于任意不相等的实数
5、x1,x2,都有m0;对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n0;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得mn;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得mn.其中真命题有_(写出所有真命题的序号).【答案】【解析】对于,因为f (x)2xln20恒成立,故正确对于,取a8,即g(x)2x8,当x1,x24时n0,错误对于,令f (x)g(x),即2xln22xa记h(x)2xln22x,则h(x)2x(ln2)22(2015年四川文)21、(本小题满分14分)已知函数f(x)2lnxx22axa2,其中a0.(I)设g(x)为f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(II)
6、证明:存在a(0,1),使得f(x)g(x).【解析】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.(I)由已知,函数f(x)的定义域为(0,)g(x)f (x)2(x1lnxa)所以g(x)2当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递减当x(1,)时,g(x),g(x)单调递增(II)由f (x)2(x1lnxa)0,解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx则(1)10,(e)2(2e)0于是存在x0(1,e),使得(x0
7、)0令a0x01lnx0u(x0),其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知,函数u(x)在区间(1,)上单调递增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0,1)当aa0时,有f (x0)0,f(x0)(x0)0再由(I)知,f (x)在区间(1,)上单调递增当x(1,x0)时,f (x)0,从而f(x)f(x0)0当x(x0,)时,f (x)0,从而f(x)f(x0)0又当x(0,1时,f(x)(xa0)22xlnx0故x(0,)时,f(x)0综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)0在区间(1,)内有唯一解.(2015年天津文)11. 已知函数 ,其中a为
8、实数,为的导函数,若 ,则a的值为 【答案】3【解析】试题分析:因为 ,所以.考点:导数的运算法则.(2015年天津文)20. (本小题满分14分)已知函数(I)求的单调性;(II)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;(III)若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】(I) 的单调递增区间是 ,单调递减区间是;(II)见试题解析;(III)见试题解析.【解析】试题解析:(I)由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.(II)设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令
9、 即 则.由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,所以当时,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.考点:1.导数的几何意义;2.导数的应用.(2015年新课标1文)14.已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .答案:1 解析:f(x)=ax3+x+1,.(2015年新课标1文)(21).(本小题满分12分)设函数.()讨论的导函数零点的个数;()证明:当时,。(2015年新课标2文)16. 已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= 【答案】8【解析】试题分析:由可得曲线在点处的切线斜率为2
10、,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 .考点:导数的几何意义.(2015年新课标2文)21. (本小题满分12分)已知.(I)讨论的单调性;(II)当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.【答案】(I),在是单调递增;,在单调递增,在单调递减;(II).【解析】考点:导数的应用.(2015年浙江文)8、设实数,满足( )A若确定,则唯一确定 B若确定,则唯一确定C若确定,则唯一确定 D若确定,则唯一确定【答案】B【解析】试题解析:因为,所以,所以,故当确定时,确定,所以唯一确定.故选B.考点:函数概念(2015年浙江文)20. (本题满分15分)设函数.(1)当时,求函数在上的最小值的表达式;(2)已知函数在上存在零点,求b的取值范围.【答案】(1);(2)考点:1.函数的单调性与最值;2.分段函数;3.不等式性质;4.分类讨