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1、/（2015年江苏）19. 已知函数。（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。（2015年安徽文）10.函数的图像如图所示，则下列结论成立的是( )（A） a0，b0，d0（B）a0，b0，c0（C）a0，b0，c0（D）a0，b0，c0，d0，函数f(x)=a (x0，+）。记xe为f(x)的从小到大的第n（n）个极值点。（）证明：数列f(xn)是等比数列；（）若对一切n，xn| f(xn)|恒成立，求a的取值范围。（2015年山东文）20. (本小题满分13分)设函数fx=x+alnx，g(x)=x2ex. 已知曲线
2、y=f(x) 在点处的切线与直线2x-y=0平行.（）求a的值；（）是否存在自然数k，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（）设函数（minp，q表示，p，q中的较小值），求m(x)的最大值.【答案】（I） ；(II) ；(III) .【解析】试题分析：（I）由题意知， ，根据即可求得.（II）时，方程在内存在唯一的根.设通过研究时，.又得知存在，使.应用导数研究函数的单调性，当时，单调递增.作出结论：时，方程在内存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在内存在唯一的根，且时，时，得到.当时，研究得到当时，应用导数研究得到且.综上可得函数的最大值为.试题解析：
3、（I）由题意知，曲线y=f(x)在点处的切线斜率为，所以，又所以.（II）时，方程在内存在唯一的根.设当时，.又所以存在，使.因为所以当时，当时，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在内存在唯一的根，且时，时，所以.当时，若若由可知故当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；可知且.综上可得函数的最大值为.考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值.（2015年陕西文）15、函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】考点：导数的几何意义.（2015年陕西文）21. 设(I)求；(II)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.【答案】(I)
4、 ；(II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题设，所以，此式等价于数列的前项和，由错位相减法求得； (II)因为，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得故，继而得.试题解析：(I)由题设，所以 由 得 ，所以 (II)因为，所以在内至少存在一个零点，又所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以由此可得故所以考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.（2015年四川文）15、已知函数f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR).对于不相等的实数x1，x2，设m，n，现有如下命题：对于任意不相等的实数
5、x1，x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中真命题有_(写出所有真命题的序号).【答案】【解析】对于，因为f (x)2xln20恒成立，故正确对于，取a8，即g(x)2x8，当x1，x24时n0，错误对于，令f (x)g(x)，即2xln22xa记h(x)2xln22x，则h(x)2x(ln2)22（2015年四川文）21、(本小题满分14分)已知函数f(x)2lnxx22axa2，其中a0.(I)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(II)
6、证明：存在a(0，1)，使得f(x)g(x).【解析】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.(I)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)g(x)f (x)2(x1lnxa)所以g(x)2当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减当x(1，)时，g(x)，g(x)单调递增(II)由f (x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx则(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得(x0
7、)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)当aa0时，有f (x0)0，f(x0)(x0)0再由(I)知，f (x)在区间(1，)上单调递增当x(1，x0)时，f (x)0，从而f(x)f(x0)0当x(x0，)时，f (x)0，从而f(x)f(x0)0又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xlnx0故x(0，)时，f(x)0综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.（2015年天津文）11. 已知函数 ,其中a为
8、实数,为的导函数,若 ,则a的值为 【答案】3【解析】试题分析：因为 ,所以.考点：导数的运算法则.（2015年天津文）20. （本小题满分14分）已知函数（I）求的单调性；（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数,都有;（III）若方程有两个正实数根且,求证：.【答案】（I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是；（II）见试题解析；（III）见试题解析.【解析】试题解析：（I）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增；当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.（II）设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令
9、 即 则.由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,所以当时,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.（2015年新课标1文）14.已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则a= .答案：1 解析：f(x)=ax3+x+1，.（2015年新课标1文）（21）.（本小题满分12分）设函数.（）讨论的导函数零点的个数；（）证明：当时，。（2015年新课标2文）16. 已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= 【答案】8【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2
10、,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 .考点：导数的几何意义.（2015年新课标2文）21. （本小题满分12分）已知.（I）讨论的单调性；（II）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.【答案】（I）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（II）.【解析】考点：导数的应用.（2015年浙江文）8、设实数，满足（ ）A若确定，则唯一确定 B若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定 D若确定，则唯一确定【答案】B【解析】试题解析：因为，所以，所以，故当确定时，确定，所以唯一确定.故选B.考点：函数概念（2015年浙江文）20. （本题满分15分）设函数.(1)当时，求函数在上的最小值的表达式；(2)已知函数在上存在零点，求b的取值范围.【答案】(1)；(2)考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨
