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1、静安区2012学年第二学期期末教学质量检测高一年级 数学试卷（完成时间90分钟，满分100分）2013.6一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，每题4分，只要求直接填写结果1已知角的终边与单位圆的交点坐标为 则的值为 . 2已知扇形的圆心角为2，面积为4，则扇形的周长为 3计算：_.4函数的值域是_. 5函数与的图像关于直线对称，则 . 6设集合，若，则 .7设集合，若，则 .8在中，已知，且最大边的长为，则最小边的长为_9函数， 的图象与直线的交点的横坐标之和为 .102002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个
2、小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 .11已知钝角三角形的边长分别为、3、，则第三边的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）（A）； （B）；（C）；（D）. 13已知ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，则“”是“的（ ）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件14下列命题中正确
3、的是（ ）（A）函数与互为反函数；（B）函数与都是增函数；（C）函数与都是奇函数；（D）函数与都是周期函数15设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数，当时，且在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的零点个数为（ ）（A）0； （B）10； （C）20； （D）40.三、解答题（本大题满分40分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.16.(本题满分6分)已知函数，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.17.(本题满分8分)，已知函数，为是常数，（1）请指出函数的奇偶性，并给予证明；（2）当，时，求的取值范围18.(本题满分8分请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知，求的值.2
4、 m2 m19.(本题满分8分)一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用表示铁棒的长度；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值20.(本题满分10分)已知函数（1）求函数的周期；（2）若函数，试求函数的单调递增区间；（3）若恒成立，试求实数的取值范围.【参考答案】1.；2.8；3.2；4.；5.4；6.；7.；8.；9.；10.；11. 12.B；13.；14.D；15.C16.(本题满分6分)已知函数，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.解：由，解得，所以函数的定义域为. 2分令，则，所以，因此函数的值域为 2分单调递增区间，递减区间为 2分17.(本题满
5、分8分)，已知函数，为是常数，（1）请指出函数的奇偶性，并给予证明；（2）当，时，求的取值范围解：（1），,所以，当时，是偶函数 2分,成立，所以，是不是奇函数2分综上：当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数注：当时，证明是非奇或非偶函数可举例说明 （2）当时，2分由，得， 所以（2分）18.(本题满分8分请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知，求的值.解法1：由得：（其中），整理得，即，从而，所以：解法2：由得：，从而，其中。由得：，即，所以解法3；由两边平方得：，由于，所以，即，所以，从而.解法4：因，所以由条件得，所以为第一象限角，由两边除以得：，而，所以，从而，整理得，解得.解法5：
6、由得：，从而，即：，于是得：，所以，.解法6：设为角终边上任意一点，到原点的距离为，则，从而由得：，即，两边平方得：，从而有：，整理得：，所以，显然，故.解法7：设，则由两式平方相加得：，所以，即，故.解法8：由得：，利用不等式得：，等号当且仅当时成立，所以.CABD435解法9：作，使，则，作于，并设，则（如图所示），这样有，所以，即，即是方程的一个解，于是，（此处，）解法10：因为，所以成等差数列，于是可以设，从而，代入，得：，整理得：，解得，于是，所以.2 m2 m19.(本题满分8分)一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用表示铁棒的长度；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值解：（1）根据题中图形可知：，； 3分（2）本题即求的最小值.2分 由于，令，则得：，因为在上是减函数，所以3分所以能水平通过该直角走廊的铁棒长度的最大值为m.另解：因为，所以，所以当，即时，m.20.(本题满分10分)已知函数（1）求函数的周期；（2）若函数，试求函数的单调递增区间；（3）若恒成立，试求实数的取值范围.解：（1）因为 = 所以的周期.2分（2）由（1），知 =2分由，得，从而，所以函数的单调递增区间，.2分（3）因为 =1分所以，当时，.1分恒成立，等价于所以，即，解得.所以，实数的取值范围为.2分
