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1、(2013连云港22)(10分)在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F(1)求证:四边形BFDE为平行四边形;(2)若四边形BFDE为为菱形,且AB=2,求BC的长考点:矩形的性质;平行四边形的判定;菱形的性质;翻折变换(折叠问题)分析:(1)证ABECDF,推出AE=CF,求出DE=BF,DEBF,根据平行四边形判定推出即可(2)求出ABE=30,根据直角三角形性质求出AE、BE,即可求出答案解答:(1)证明:四边形ABCD是矩形,A=C=90,AB=CD,ABCD,ABD=CDB,在矩形ABCD中,将点
2、A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD于点E将点C翻折到对角线BD上的点N处,ABE=EBD=ABD,CDF=CDB,ABE=CDF,在ABE和CDF中ABECDF(ASA),AE=CF,四边形ABCD是矩形,AD=BC,ADBC,DE=BF,DEBF,四边形BFDE为平行四边形;(2)解:四边形BFDE为为菱形,BE=ED,EBD=FBD=ABE,四边形ABCD是矩形,AD=BC,ABC=90,ABE=30,A=90,AB=2,AE=,BE=2AE=,BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2点评:本题考查了平行四边形的判定,菱形的性质,矩形的性质,含30度角的直角三角形性质的应用,主
3、要考查学生运用定理进行推理和计算的能力(2013连云港26)(12分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,6)动点Q从点O、动点P从点A同时出发,分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动,运动时间为t(秒)(0t5)以P为圆心,PA长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为C、D,连接CD、QC(1)求当t为何值时,点Q与点D重合?(2)设QCD的面积为S,试求S与t之间的函数关系式,并求S的最大值;(3)若P与线段QC只有一个交点,请直接写出t的取值范围考点:圆的综合题专题:代数几何综合题分析:(1)根据点A、B的坐标求出OA、O
4、B,利用勾股定理列式求出AB,根据点Q的速度表示出OQ,然后求出AQ,再根据直径所对的圆周角是直角可得ADC=90,再利用BAO的余弦表示出AD,然后列出方程求解即可;(2)利用BAO的正弦表示出CD的长,然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD,再利用三角形的面积公式列式整理,然后根据二次函数的最值问题解答;(3)有两个时段内P与线段QC只有一个交点:运动开始至QC与P时(0t);重合分离后至运动结束(t5)解答:解:(1)A(8,0),B(0,6),OA=8,OB=6,AB=10,cosBAO=,sinBAO=AC为P的直径,ACD为直角三角形AD=ACcosBAO=2t=t当点Q与
5、点D重合时,OQ+AD=OA,即:t+t=8,解得:t=t=(秒)时,点Q与点D重合(2)在RtACD中,CD=ACsinBAO=2t=t当0t时,DQ=OAOQAD=8tt=8tS=DQCD=(8t)t=t2+t=,0,当t=时,S有最大值为;当t5时,DQ=OQ+ADOA=t+t8=t8S=DQCD=(t8)t=t2t=,所以S随t的增大而增大,当t=5时,S有最大值为15综上所述,S的最大值为15(3)当CQ与P相切时,有CQAB,BAO=QAC,AOB=ACQ=90,ACQAOB,=,即=,解得t=所以,P与线段QC只有一个交点,t的取值范围为0t或t5点评:本题考查了圆综合题型,主要
6、利用了解直角三角形,勾股定理,三角形的面积,相似三角形的判定与性质,二次函数的最值问题,综合性较强,但难度不大,关键在于要考虑点Q、D两点重合前后两种情况,这也是本题容易出错的地方ABCDOMP(2013南京25)(8分) 如图,AD是圆O的切线,切点为A,AB是圆O 的弦。过点B作BC/AD,交圆O于点C,连接AC,过点C作CD/AB,交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且BCP=ACD。(1) 判断直线PC与圆O的位置关系,并说明理由:(2) 若AB=9,BC=6,求PC的长。解法一:(1) 直线PC与圆O相切。jABCDOMPN 如图j,连接CO并延长,交圆O
7、于点N,连接BN。 AB/CD,BAC=ACD。 BAC=BNC,BNC=ACD。 BCP=ACD,BNC=BCP。 CN是圆O的直径,CBN=90。 BNC+BCN=90,BCP+BCN=90。 PCO=90,即PCOC。 又点C在圆O上,直线PC与圆O相切。 (4分) (2) AD是圆O的切线,ADOA,即OAD=90。 BC/AD,OMC=180-OAD=90,即OMBC。 MC=MB。AB=AC。 在RtAMC中,AMC=90,AC=AB=9,MC= BC=3, 由勾股定理,得AM=6。 设圆O的半径为r。 在RtOMC中,OMC=90,OM=AM-AO=6-r,MC=3,OC=r,
8、由勾股定理,得OM 2+MC 2=OC 2,即(6-r)2+32=r2。解得r= 。 在OMC和OCP中, OMC=OCP,MOC=COP, OMCOCP。 = ,即 = 。 PC= 。(8分)ABCDOMPk 解法二:(1) 直线PC与圆O相切。如图k,连接OC。 AD是圆O的切线,ADOA, 即OAD=90。 BC/AD,OMC=180-OAD=90, 即OMBC。 MC=MB。AB=AC。MAB=MAC。 BAC=2MAC。又MOC=2MAC,MOC=BAC。 AB/CD,BAC=ACD。MOC=ACD。又BCP=ACD, MOC=BCP。MOC+OCM=90,BCP+OCM=90。 P
9、CO=90,即PCOC。又点C在圆O上,直线PC与圆O相切。 (2) 在RtAMC中,AMC=90,AC=AB=9,MC= BC=3, 由勾股定理,得AM=6。 设圆O的半径为r。 在RtOMC中,OMC=90,OM=AM-AO=6-r,MC=3,OC=r, 由勾股定理,得OM 2+MC 2=OC 2,即(6-r)2+32=r2。解得r= 。 在OMC和OCP中,OMC=OCP,MOC=COP, OMCOCP, = ,即 = 。 PC= 。(8分)(2013南通27)如图,在RtABC中,ACB=900,AC=,BC=3,DEF是边长为a(a为小于3的常数)的等边三角形,将DEF沿AC方向平移
10、,使点D在线段AC上,DEAB,设DEF与ABC重叠部分的周长为T。(1)求证:点E到AC的距离为一常数;(2)若AD=,当a=2时,求T的值;(3)若点D运动到AC的中点处,请用含a的代数式表示T。解:(1)证明:如图,过点E作EHAC于点H,则EH即为点E到AC的距离。在RtABC中,ACB=900,AC=,BC=3,。A=600。DEAB,EDH=A=600。DE=a(a为小于3的常数),(常数)。点E到AC的距离为一常数。(2)当a=2时,。 AD=,AH=。此时,点H在在线段AC上。此时,DEF与ABC重叠部分就是DEF。(3)当点D运动到AC的中点处时, ,由得,解得。分两种情况:
11、当时,点H在线段AC上,此时,DEF与ABC重叠部分就是DEF。当时,点H在线段AC的延长线上,如图,此时,DEF与ABC重叠部分就是DCG。根据三角形中位线定理,点G是BC的中点,CD=,CG=,DG=。综上所述,。(2013苏州28)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB10cm,BC12cm点E,F,G分别从A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cms,点G的运动速度为1.5cms当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动在运动过程中,EBF关于直线EF的对称图形是EBF,设点E,F,G运动的时间为t(单位:
12、s)(1)当t s时,四边形EBFB为正方形;(2)若以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;(3)是否存在实数t,使得点B与点O重合?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由(2013无锡27)(12分)如图1,菱形ABCD中,A=60,点P从A出发,以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止,点Q从A与P同时出发,沿边AD匀速运动到D终止,设点P运动的时间为t(s)APQ的面积S(cm2)与t(s)之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出(1)求点Q运动的速度;(2)求图2中线段FG的函数关系式;(3)问:是否存在这样的t,使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由考点:相似形综合题;动点问题的函数图象分析: