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1、高一数学必修(1)复习函数知识点总结设计 期末复习函数知识点归纳 一、函数的概念与表示构成函数概念的三要素定义域对应法则值域例 1、下列各对函数中，相同的是（）A、x x g x x flg2)(,lg)(2=B、)1lg()1lg()(,11lg)(?+=?+=x x x gxxx f C、vvv guuuf?+=?+=11)(,11)(D、f（x）=x，2)(x x f=例 2、30|,20|=y yN x x M给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）A、0个B、1个C、2个D、3个 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据 （1）分式的分母不为零； （
2、2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例.（05江苏卷）函数20.5log (43)y x x=?的定义域为_例3 （1）()x已知f的定义域是-2,5,求f(2x+3)的定义域。 （2） (21)x x已知f的定义域是-1,3,求f()的定义域。 例4设2()lg2xf xx+=?，则2()()2xf fx+的定义域为_变式练习24)2(x x f?=?，求)(x f的定义域为_ 三、函数的值域1求函数值域的方法直接法从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换
3、元法利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；利用对勾函数x x x x1211122211112222y y yy3O O OO分离常数适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；单调性法利用函数的单调性求值域；几何意义法由数形结合，转化距离等求值域。 主要是含绝对值函数例1（直接法）2123yx x=+22()2242f x x x=?+?3（换元法）12?+?=x x y4.11y22+?=xx5.1+=xxy31 (24)21xy xx?=?+6(对勾函数)82 (4)y x xx=+7.(单调性)3(1,3)2y x xx=?8.111yx x=+?，11y
4、x x=+?9.(几何意义)21y x x=+?四函数的奇偶性1.定义设y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有()()f x f x?=，则称y=f(x)为偶函数。 如果对于任意xA，都有()()f x f x?=?，则称y=f(x)为奇函数。 2.性质y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称,若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f (0)=0奇奇=奇偶偶=偶奇奇=偶偶偶=偶奇偶=奇两函数的定义域D1，D2，D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系?例1已知函数)(x f是定
5、义在),(+?上的偶函数.当)0,(?x时，4)(x x x f?=，则当),0(+x时，=)(x f.4若奇函数)(R xx f满足1)2(=f，)2()()2(f x f x f+=+，则=)5(f_ 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 函数的单调性通常也可以以下列形式表达（等价形式）当1212()()0f x f xx x?的时候
6、，函数单调递增当；1212()()0f x f xxx? ?例1定义证明函数)()(3R xxx f?=的单调性2已知定义域为R的函数12()2xxbf xa+?+=+是奇函数。 （）求,a b的值；（）若对任意的t R，不等式22 (2) (2)0f t t ft k?+?x时，1)(x f，证)(x f在R上是增函数；若4)3(=f，解不等式2)5(2 (31)4,1()log,1aa x a xf xxx?+?是(,)?+上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）11,)73（D）1,1)7六函数的周期性1（定义）若?=+)0)()(T x f Tx f)
7、(x f是周期函数，T是它的一个周期。 说明nT也是)(x f的周期。 （推广）若)()(b x f a x f+=+，则)(x f是周期函数，a b?是它的一个周期?对照记忆若()()f xaf xa+=?，则若()()f a x fb x+=?，则2若)()(x fa x f?=+；) (1)(x fa x f=+；) (1)(x fa x f?=+；则)(x f周期是2a?例1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f (6)的值为（）(A)1(B)0(C)1(D)22已知)(x f是(-+，)上的奇函数，)()2(x f xf?=+，当0x1时，f(x)=x，则f
8、(7.5)=_3设)(xf是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足)()2(xf xf?=+，当2,0x时22)(xxxf?=证)(xf是周期函数；当4,2x时，求)(xf的解析式；计算 (0) (1) (2) (xx)f f ff+?七二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴2bxa?=，顶点坐标24(,)24b acba a?2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程)0(02=+a c bx ax的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)0=y的x的取值。 一元二次不等式)0(02+cbxax的解集(a0)二次函数
9、情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c(a0)=b2-4ac ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)图象与解021xxxxx 3、闭区间上二次函数的最值问题是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般来说首先考虑开口方向。 设f xax bxc a()()=+20，求f x()在x m n，上的最大值与最小值。 将f x()配方，得顶点为24(,)24b acba a?、对称轴为xba=?2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上f x()的最值最小值对称轴与区
10、间端点大小比较进行分类讨论 （1）当?bam n2，时，f x()的最小值是24()24b acbfa a?=当?bam n2，时， （2）若? （3）若2bma?，由fx()在m n，上是减函数则fx()的最小值是f n()。 最大值对称轴与区间中点比较进行分类讨论 （1）当22b m na+?时，fx()的最大值是fn()； （2）当22b m na+? 例 （1）设),(1,44)(2R tttxxxxf+?=求函数)(xf的最小值)(t g的解析式。 （2）已知二次函数2f(x)ax(2a1)x1=+?+在区间3,22?上的最大值为3，求实数a的值。 （3）已知函数2()2xf xx=
11、?+在区间,mn上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值 4、二次方程根分布问题从三个方面进行分析 （1）0（有不等实数根）； （2）对称轴； （3）端点的函数值例 （1）已知方程()2210x m x m?+=有两个不等正实根，求实数m的取值范围. (2)方程0122=+mx mx有一根大于1，另一根小于1，求实根m的取值范围是 (3)已知关于x的方程0122)2(2=+?+?mxx m至少有一个根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围.八指数式与对数式1幂的有关概念 (1)零指数幂)0(10=a a (2)负整数指数幂()10,nna an Na?= (3)正分数指数幂()0,1mn m
12、na a a mn N n?=； (4)负分数指数幂()110,1mnmn mna amnNnaa?= (5)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2指数幂的运算性质()()10,r sr sa a a a r s Q+=()()()20,sr rsa aarsQ=()()()30,0,rr raba ba br Q=3根式根式的性质:当n是奇数，则a ann=；当n是偶数，则? (1)对数的概念:如果)1,0(=aaN ab,那么b叫做以a为底N的对数,记)1,0(log=aaN ba (2)对数的性质零与负数没有对数01log=a1log=aa (3)对数的运算性质logMN=
13、logM+logN对数换底公式)10,10,0(logloglog=m maaNaNNmma且且对数的降幂公式)10,0(log log=aaN NmnNanam且?例 (1)213323121)()1.0()4()41(?b aab (2)1.0lg10lg5lg2lg125lg8lg?+九指数函数与对数函数 1、指数函数y=a x与对数函数y=log ax(a0,a1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax(a0且a1)y=log ax(a0,a1)定义域(-,+)(0,+)值域(0,+)(-,+)过定点（0，1）（1，0）图象指数函数y=ax与对数函数y=log ax(a0,a1
14、)图象关于y=x对称单调性a1,在(-,+)上为增函数01,在(0,+)上为增函数0 2、比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象，研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。 例 （1）已知2.03.0=a，2.02.0=b，3.02.0=c，5.121?=d，则比较a，b，c，d的大小 （2）设30.3a=，0.33b=，3log0.3c=，则a，b，c从小到大排列为 （3）在2)3.0(,3.02,2log2这三个数中最大的是 3、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。 4、
