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1、 2010年高考广东理科数学试题源头学子 http:/ 特级教师王新敞 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，则集合A B C D2若复数，则A4 B2+ i C2+2 i D33若函数与的定义域均为R，则 A与均为偶函数 B为奇函数，为偶函数 C与均为奇函数 D为偶函数为奇函数4已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则 A35 B33 C3l D295“”是“一元二次方程有实数解”的 A充分非必要条件 B充分必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件6如图1，为正三角形，则多面体的正视图（也称
2、主视图）是7 已知随机变量服从正态分布，且，则A0.1588 B0.1587 C0.1586 D0.15858为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A1205秒 B1200秒 C1195秒 D1190秒二、填空题：本大题共7小题考生作答6小题每小题5分，满分30分（一）必做题(913题)9 函数，的定义域是 10若向量，
3、满足条件，则 11已知a，b， c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= 12若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 13某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为 (单位：吨)根据图2所示的程序框图，若，且，分别为1，则输出的结果为 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图3，是半径为的圆的两条弦，他们相交于AB的中点P，则_15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）（）中，曲线与的交点的极坐标为_三、解答
4、题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分l4分）已知函数在时取得最大值4。（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若，求。17（本小题满分12分） 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495，（495,500，（510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。（1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量。（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量， 求Y的分布列。（3）从流水线上任取5件产品，
5、求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。18(本小题满分14分)如图5，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，。（1）证明：；（2已知点为线段上的点，求平面与平面所成二面角的正弦值。19.（本小题满分12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素。如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么
6、要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?20.（本小题满分14分）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点。（1）求直线与交点的轨迹的方程；（2若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值。21.(本小题满分14分)设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为对于平面上给定的不同的两点，,（1）若点是平面上的点，试证明（2）在平面上是否存在点，同时满足 若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1
7、D【解析】2A【解析】3B【解析】4C【解析】设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知， ，即，.5A【解析】由知，（或由得，。）， 反之不成立，故选A。6D7B【解析】8C【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5（1201）=595秒。那么需要的时间至少是600595=1195秒。二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分9 【解析】由，得，所以函数的定义域为102【解析】，解得11【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，则，于是12【解
8、析】设圆心为，则，解得13 14【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .在中，.由相交弦定理知，即，所以15【解法1】两条曲线的普通方程分别为解得由得点的极坐标为【解法2】由得，或，或（舍），从而，交点坐标为。-1D 解析：本题考查了集合的运算。结合数轴易得2A 解析：本题考查复数的乘法运算，考查了学生的计算能力。计算得3B 解析：本题考查函数奇偶性的定义，对函数奇偶性的理解能力。因为，所以为偶函数；因为，所以为奇函数4C 解析：本题考查了等差与等比数列的性质、前n项和公式、等差中项等知识，考查了对数列知识的灵活运用能力。、式考查了等差与等比数列的性质、前你想和因为，即又与的等差中项为
9、，即，得所以，所以5A 解析：本题考查充要条件的相关知识及一元二次方程有解的条件。一元二次方程有实数解，等价为得“”是“一元二次方程有实数解”的充分而不必要条件6D 解析：本题考查空间几何体的三视图，考查了同学们的识图能力。画三视图时，从外向内看，看到AB、为虚线，C为AB的中点，则为D选项7B 解析：本题考查正态分布的相关知识。由题设条件知，8C 解析：本题主要考查排列的知识，以及实际应用问题的数据处理能力。由题意知每个闪烁用时5秒，两个闪烁之间的间隔为5秒，共有个闪烁，119个间隔，要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（秒）。9 解析：本题考查对数函数的定义域。对数函数中，真数须大于
10、0，故有：，得，即为102 解析：本题考查空间向量的数乘运算。，111 解析：本题考查解三角形的知识，主要涉及三角形内角和定理及正弦定理。A+B=2C，B=，A+C=，即sinC=112 解析：本题考查圆的标准方程以及直线与圆的位置关系之一相切。根据题意，设圆的方程为，直线与圆相切，得，圆的方程为13 解析：本题考查算法中的循环结构和统计中的知识，考查了同学们的识图能力。开始输入，第一次运行：，；第二次运行：，；输出14 解析：本题考查相交弦定理及弦的相关性质。在OPA中，P为AB的中点，所以，又由相交弦定理得15 解析：本题考查极坐标方程式下的交点问题，交点的极坐标为三、解答题：本大题共6小
11、题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分l4分）已知函数在时取得最大值4。（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若，求。16解：（1）(2) 在时取得最大值4知，A=4。；(3)17（1）重量超过505克的产品数量是件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，Y的分布列为（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为。18（1）证明： 连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。在中，。在中，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。在中，所以为，且。因为，且，所以平面，而平面，。因为，且，所以平面，而平面，。（2）设平面与平面R
12、QD的交线为.由，知.而平面，平面，而平面平面= ，.由（1）知，平面，平面，而平面，是平面与平面所成二面角的平面角在中，在中，由知，由余弦定理得，由正弦定理得，即，。故平面与平面所成二面角的正弦值为。19解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件 即作直线，平移直线至，当 经过C点时，可使达到最小值。由 即，此时，答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。20（1）解：由为双曲线的左右顶点知，两式相乘，因为点在双曲线上，所以，即，故，所以，即直线与交点的轨迹的方程为.（2）解法1：设，则由知，。将代入得，即，由与E只有一个交点知，即。同理，由与E只有一个交点知，消去得，即，从而来，又，。解法2：由题意知直线和都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为和，设其方程为，代入椭圆E的方程得，即由得，即，21（1）证明：由绝对值不等式知，当且仅当且时等号成立。（2）解：由得 且 （）由得 （）因为，是不同的两点，则： 若且，不妨设，由（）得 且，由（）得 ，此时，点是线段的中点，即只有点满足条件； 若且，同理可得：只有的中点满足条件； 若且，不妨设且，由（）得且，由（）得，
