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1、2013全国初中数学联赛初赛答案及评分标准(初三)一、 选择题(本大题满分42分,每小题7分)1. 已知,则,的大小关系是( ) ABC D解:由,得,从而,所以,又,所以故选D2. 如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQBP,PQ交CD于Q,若APCQ2,则正方形ABCD的面积为A B16 CD32解:如图,过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD,垂足分别为E、F、G易证RtEPBRtFQPRtFDP,所以FQFDEP,因此正方形ABCD的边长为,所以面积为故选C3. 若实数,满足,则的取值范围是( )ABC D解:将原式看作为关于b的一元二次方程,则其
2、判别式,解得故选A4. 如图,在四边形ABCD中,B=135,C=120,AB=,BC=,CD=,则AD边的长为( )ABCD解:过A和D点向BC作垂线,垂足为M和N,那么BM=AM=,CN=3,DN=,所以48,所以AD=故选B5. 方程的正整数解的组数是( )A0 B1 C3 D5解:不妨设,则,所以,解得又显然,即经验证:均不符合条件所以,符合条件的解的组数为0组故答案选A6. 已知实数满足,则的值是( )A B0 C1 D2解:显然,否则由已知得即所以故选B二、 填空题(本大题满分28分,每小题7分)1. 是正整数,x表示的正约数个数,则等于 解:,所以故填2. 草原上的一片青草,到处
3、长得一样密一样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛在60天内可以吃完这片青草,则20头牛吃完这片青草需要的天数是 解:设草原上原有草量为a,每天长出量为b,并设20头牛在x天内可以吃完这片青草因为一头牛一天的吃草量相等,根据题意可得方程组由得代入中,得,解得故填963. 如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是BC、DC的中点,AM=4,AN=3,且,则AB的长是 解:延长AM交DC的延长线于F,则AMBFMC则CF=AB,则NF=,过N作NH垂直AF于H,则AH=,故,所以故填4. 小明将1,2,3,n这n个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示输入个数,且平均值为
4、,假设这个数输入无误,则漏输入的一个数是 解:依题意得,所以,即,所以n=60或61因为是整数,所以n=61所以漏输入的数为故填46三、 (本大题满分20分)解方程解:当时,原方程可化为,解得,又因为,故应舍去10分当时,原方程可化为,解得,又因为,故应舍去所以原方程的解为和20分四、 (本大题满分25分)如图,圆内接四边形ABCD中,CBCD,求证:;证明:连结BD、AC交于点E,则,所以,5分所以,所以10分又,所以,15分所以,所以,20分所以,所以25分五、 (本大题满分25分)已知二次函数和一次函数,其中a、b、c满足,(R) (1)求证:两函数的图象有两个不同的交点A、B;(2)过(1)中的两点A、B分别作x轴的垂线,垂足为A1、B1求线段A1B1的长的取值范围(1)证明:由消去y得,5分,即两函数的图象有两个不同的交点10分(2)解:设方程的两根为和,则x1+x2,x1x215分20分,解得,故25分2013全国初中数学联赛初赛答案及评分标准(初二) (第4页 共4页)