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1、1 全概率公式 2 解 因为 且 与 互不相容 所以 0 6 一个盒子中有 只白球 只黑球 从中不放回 地每次任取 只 连取 次 求第二次取到白球 的概率 例 A 第一次取到白球 B 第二次取到白球 3 甲箱中有3个白球 2个黑球 乙箱中有1个 白球 3个黑球 现从甲箱中任取一球放入乙 箱中 再从乙箱任意取出一球 问从乙箱中 取出白球的概率是多少 答案 8 25 4 答案 23 30 5 两台车床加工同样的零件 第一台出现 废品的概率为0 03 第二台出现废品的概率 为0 02 加工出来的零件放在一起 并且已 知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍 求任意取出的零件时合格品的概率 答案
2、0 97333 6 B A1 一等 A2 二等 A3 三等 A4 四等 任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒 例 设播种用麦种中混有一等 二等 三等 四等四 个等级的种子 分别各占95 5 2 1 5 1 用一等 二等 三等 四等种子长出的穗含50颗以 上麦粒的概率分别为0 5 0 15 0 1 0 05 求这批 种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率 答案 0 4825 7 例 设某工厂有甲 乙 丙三个车间生产同 一种产品 已知各车间的产量分别占全厂产量的 25 35 40 而且各车间的次品率依 次为 5 4 2 现从待出厂的产品中检 查出一个次品 试判断它是由甲车间生产的概率 8 次品 B
3、 甲 A1 乙 A2 丙 A3 9 例 设某工厂有甲 乙 丙三个车间生产同一种产 品 已知各车间的产量分别占全厂产量的25 35 40 而且各车间的次品率依次为 5 4 2 现从待出厂的产品中检查出一个次品 试判断它是由 甲车间生产的概率 解 设 1 2 3 分别表示产品由甲 乙 丙 车间生产 表示产品为次品 显然 1 2 3 构成完备事件组 依题意 有 1 25 2 35 3 40 1 5 2 4 3 2 1 10 已知在所有男子中有5 在所有女子中有 0 25 患有色盲症 随机抽一人发现患色盲 症 问其为男子的概率是多少 设男子和 女子的人数相等 解 设A 男子 B 女子 C 患有色 盲
4、答案 20 21 11 讨论 某一地区患有癌症的人占0 005 患者对一种试 验反应是阳性的概率为0 95 正常人对这种试验 反应是阳性的概率为0 04 现抽查了一个人 试 验反应是阳性 问此人是癌症患者的概率有多大 则 表示 抽查的人不患癌症 设A 试验结果是阳性 C 抽查的人患有癌症 求 P C A 已知 P C 0 005 P C 0 995 P A C 0 95 P A C 0 04 12 现在来分析一下结果的意义 由贝叶斯公式 可得 代入数据计算得 P C A 0 1066 2 检出阳性是否一定患有癌症 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 已知 P C 0 005 P C
5、 0 995 P A C 0 95 P A C 0 04 求 P C A 13 如果不做试验 抽查一人 他是患者的概率 患者阳性反应的概率是0 95 若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息 此人是患者的概率为 从0 005增加到0 1066 将近增加约21 倍 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义 P C A 0 1066 P C 0 005 14 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为 P C A 0 1066 2 即使你检出阳性 尚可不必过早下结论你 有癌症 这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症 此时 医生常要通过再试验来确认 15 贝叶斯公式
6、 在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称 为 原因的先验概率和后验概率 P Ai i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件B是否发生 的情况下 人们对 诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道B发生 人们对诸 事件发生可能性大小P Ai B 有了新的估计 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 16 在不了解案情细节 事件B 之前 侦破人员根据过去 的前科 对他们作案的可 能性有一个估计 设为 比如原来认为作案可能性较小的某甲 现在变成了重点嫌疑犯 例如 某地发生了一个案件 怀疑对象有甲 乙 丙三人 甲乙丙 P A1 P A2 P A3 但在知道案情细 节后 这个估计 就有了
7、变化 P A1 B 知道B 发生后 P A2 B P A3 B 最大 偏小 17 全概率公式 Bayes公式 条件概率乘法公式 18 孩子与狼 思考题 有个放羊的孩子 每天带着羊群上山 晚上赶着羊群回来 他 觉得挺无聊 想玩个把戏作弄作弄人 这天早上 他又赶着羊群上山 到了中午 他放开咽喉大喊 狼来啦 山下的人一听 慌慌忙忙跑上山 可到山上一看 连狼的影子也没有 放养的孩子躺在草地上 高兴得哈哈大笑 大家知道上了当 一个个下上去了 过了几天 放羊的孩子又在山上大叫 狼来啦 狼来啦 大家虽然有些怀疑 还是纷纷跑到山上去了 大家又上了放羊小孩的当 再也不相信他了 几天后 狼真 的来了 可不管小孩怎么喊叫 大家都当作没事一样 最后 羊 和孩子都被狼吃了 试用贝叶斯公式进行分析 19 20 21 22 23
