《人教A数学选修4-5同步课件：第四讲 复习课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A数学选修4-5同步课件：第四讲 复习课（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习课 第四讲 用数学归纳法证明不等式 学习目标 1 梳理数学归纳法的思想方法 初步形成 归纳 猜想 证明 的思维模式 2 熟练掌握用数学归纳法证明不等式 等式等问题的证明步骤 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 数学归纳法是用有限个步骤 就能够处理完无限多个对象的方法 2 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成 立时 可以用以下两个步骤 1 证明当n n0时命题成立 2 假设当n k k N 且k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成 立 完成以上两个步骤 就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 3 在数学
2、归纳法的两个步骤中 第一步是奠基 第二步是假设与递推 递 推是实现从有限到无限飞跃的关键 4 用数学归纳法证明不等式 关键是在假设当n k k N k n0 时命题 成立的条件下 推出当n k 1时命题成立这一步 为完成这步证明 不 仅要正确使用归纳假设 还要用到分析法 综合法 放缩法等相关知识 和方法 题型探究 类型一 归纳 猜想 证明 例1 已知数列 an 的第一项a1 5且Sn 1 an n 2 n N 1 求a2 a3 a4 并由此猜想an的表达式 解 a2 S1 a1 5 a3 S2 a1 a2 10 a4 S3 a1 a2 a3 5 5 10 20 解答 证明 2 用数学归纳法证明
3、 an 的通项公式 证明 当n 2时 a2 5 22 2 5 公式成立 假设当n k时成立 即ak 5 2k 2 k 2 k N 当n k 1时 由已知条件和假设有 ak 1 Sk a1 a2 ak 5 5 10 5 2k 2 故当n k 1时公式也成立 由 可知 对n 2 n N 有an 5 2n 2 反思与感悟 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是 观察 归 纳 猜想 证明 即先通过观察部分项的特点 进行归纳 判断并猜 想出一般结论 然后用数学归纳法进行证明 跟踪训练1 设f n 0 n N 对任意自然数n1和n2总有f n1 n2 f n1 f n2 又f 2 4 1 求f 1 f 3
4、 的值 解 由于对任意自然数n1和n2 总有f n1 n2 f n1 f n2 取n1 n2 1 得f 2 f 1 f 1 即f2 1 4 f n 0 n N f 1 2 取n1 1 n2 2 得f 3 23 解答 2 猜想f n 的表达式 并证明你的猜想 解 由f 1 21 f 2 4 22 f 3 23 猜想f n 2n 证明 当n 1时 f 1 2成立 假设n k k 1 k N 时 f k 2k成立 当n k 1时 f k 1 f k f 1 2k 2 2k 1 所以当n k 1时 猜想也成立 由 知猜想正确 即f n 2n n N 解答 类型二 用数学归纳法证明等式或不等式 命题角度
5、1 用数学归纳法证明等式 以三角函数为背景 证明 证明 1 当n 2时 左边 tan tan 2 tan tan 2 等式成立 2 假设当n k k 2 k N 时等式成立 当n k 1时 tan tan 2 tan 2 tan 3 tan k 1 tan k tan k tan k 1 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 知 当n 2 n N 时等式恒成立 反思与感悟 归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法 应用广泛 用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤 1 论证命题的起始正确性 是归纳的基础 2 推证命题正确的可传递性 是递推的依据 两步缺一 不可 证明步骤与格式的规范是数
6、学归纳法的一个特征 证明 证明 1 当n 1时 左边 2cos x 1 即左边 右边 命题成立 2 假设当n k k 1 k N 时 命题成立 当n k 1时 左边 2cos x 1 2cos 2x 1 2cos 2k 1x 1 2cos 2kx 1 当n k 1时命题成立 由 1 2 可知 当n N 时命题成立 命题角度2 用数学归纳法证明不等式 证明 2 假设当n k k 2 k N 时 结论成立 则当n k 1时 即当n k 1时 结论成立 反思与感悟 用数学归纳法证明不等式 除了注意数学归纳法规范的格 式外 还要注意灵活利用问题的其他条件及相关知识 证明 证明 1 当n 2时 2 假设
7、当n k k 2 k N 时 命题成立 当n k 1时 所以当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对一切n 2 n N 均成立 类型三 用数学归纳法证明整除问题 例4 用数学归纳法证明 n n 1 2n 1 能被6整除 证明 1 当n 1时 1 2 3显然能被6整除 2 假设当n k k 1 k N 时 命题成立 即k k 1 2k 1 2k3 3k2 k能被6整除 当n k 1时 k 1 k 2 2k 3 2k3 3k2 k 6 k2 2k 1 因为2k3 3k2 k 6 k2 2k 1 都能被6整除 所以2k3 3k2 k 6 k2 2k 1 能被6整除 即当n k 1时
8、命题成立 由 1 和 2 知 对任意n N 原命题成立 证明 反思与感悟 用数学归纳法证明整除问题的关键点 1 用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项 减项 拆项 并项 因式分解等恒等变形的方法去凑假设 凑结论 从而利用归纳假设使问 题获证 2 与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明 其中关键问题是从n k 1时的表达式中分解出n k时的表达式与一个含除式的因式或几个含 除式的因式 跟踪训练4 设x N n N 求证 xn 2 x 1 2n 1能被x2 x 1整除 证明 证明 1 当n 1时 x3 x 1 3 x x 1 x2 x x 1 x 1 2 2x 1 x2 x 1 结论成立 2
9、假设当n k k 1 k N 时 结论成立 即xk 2 x 1 2k 1能被x2 x 1整除 那么当n k 1时 x k 1 2 x 1 2 k 1 1 x xk 2 x 1 2 x 1 2k 1 x xk 2 x 1 2k 1 x 1 2 x 1 2k 1 x x 1 2k 1 x xk 2 x 1 2k 1 x2 x 1 x 1 2k 1 由假设知 xk 2 x 1 2k 1及x2 x 1均能被x2 x 1整除 故x k 1 2 x 1 2 k 1 1能被x2 x 1整除 即当n k 1时 结论也成立 由 1 2 知 原结论成立 达标检测 1234 答案 证明 1 当n 1时 显然命题是正
10、确的 A 从k到k 1的推理过程没有使用归纳假设 B 归纳假设的写法不正确 C 从k到k 1的推理不严密 D 当n 1时 验证过程不具 体 2 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k2成立时 总 可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命题总成立的是 A 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立 B 若f 5 25成立 则当k 5时 均有f k k2成立 C 若f 7 49成立 则当k 8时 均有f k k2成立 D 若f 4 25成立 则当k 4时 均有f k k2成立 解析答案 1234 解析 对于D f 4 25 42 当k 4时 均有f k k
11、2 k2 1 k 1 2 解析 当n k 1时 左端 1 2 3 k2 k2 1 k 1 2 所以增加了 k2 1 k 1 2 1234 解析答案 1234 证明 所以a0 a1 2 命题正确 2 假设当n k k 1 k N 时命题成立 即ak 1 ak 2 则当n k 1时 1234 而ak 1 ak 0 4 ak 1 ak 0 所以ak ak 1 0 1234 所以当n k 1时命题正确 由 1 2 可知 对一切n N 有an an 1 2 1 在推证 n k 1 命题也成立时 必须把归纳假设 n k 时的命题作为必 备条件使用上 否则不是数学归纳法 对项数估算的错误 特别是寻找n k与n k 1的关系时 弄错项数发生的变化是常见错误 2 用数学归纳法证明的问题通常与数列的递推公式 通项公式有关 有时 要证明的等式或不等式是直接给出 有时是根据条件从前几项入手 通过 观察 归纳 猜想出一个等式或不等式 然后再用数学归纳法证明 规律与方法 3 用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及数列有关的命题是考查的 重点 主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力 同时考查分析问题 解决问题的能力 本课结束
