《高等数学(同济第六版)第一章第10节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(同济第六版)第一章第10节（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十节 一 最值定理 二 介值定理 三 一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 1 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 一 最值定理 定理1 在闭区间上连续的函数 即 设 则使 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 证明略 点 第一章第一节 2 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 第一章第一节 3 推论 由定理 1 可知有证 设 上有界 二 介值定理 定理2 零点定理 至少有一点且 使 证明略 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 第一章第一节 4 定理3 介值定理 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C 一点 证 作辅助函数 则 且 故由零点定理知
2、 至少有一点使 即 推论 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 第一章第一节 5 例1 证明方程 一个根 证 显然又 故据零点定理 至少存在一点使即 说明 内必有方程的根 取的中点 内必有方程的根 可用此法求近似根 二分法 在区间内至少有 则 则 6 上连续 且恒为正 例2 设在 对任意的 必存在一点 证 使 令 则 使故由零点定理知 存在即 当时 取或 则有 证明 7 三 一致连续性 已知函数在区间 I 上连续 即 一般情形 就引出 了一致连续的概念 定义 对任意的 都有 在 I 上一致连续 显然 第一章第一节 8 例如 但不一致连续 因为取点 则 可以任
3、意小 但 这说明在 0 1 上不一致连续 定理 上一致连续 证明略 思考 P73 题 6 提示 设存在 作辅助函数 显然 第一章第一节 9 内容小结 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的任何值 4 当时 使必存在 上有界 在 在 第一章第一节 10 1 任给一张面积为 A 的纸片 如图 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片 提示 建立坐标系如图 则面积函数 因 故由介值定理可知 第一章第一节 11 则 证明至少存在 使 提示 令 则易证 2 设 作业 P73 题 2 3 4 一点 第一章第一节 12 备用题 至少有一个不超过 4 的 证 证明 令 且 根据零点定理 原命题得证 内至少存在一点在开区间 显然 正根 第一章第一节 13
