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1、第5讲 空间直角坐标系知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则:轴、轴、轴互相垂直,分别指向右手的拇指、食指、中指;已知点的坐标作点的方法与步骤(路径法):沿轴正方向(时)或负方向(时)移动个单位,再沿轴正方向(时)或负方向(时)移动个单位,最后沿轴正方向(时)或负方向(时)移动个单位,即可作出点已知点的位置求坐标的方法:过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于,点在轴、轴、轴的坐标分别是,则就是点的坐标2、在轴上的点分别可以表示为,在坐标平面,内的点分别可以表示为;3、点关于轴的对称点的坐标为点关于轴的对称点的坐标为;点关于轴的对称点的坐标为;点关于坐标平面的对称点为;点关于坐标平面的对
2、称点为;点关于坐标平面的对称点为;点关于原点的对称点。4. 已知空间两点,则线段的中点坐标为5空间两点间的距离公式已知空间两点,则两点的距离为 ,特殊地,点到原点的距离为;5以为球心,为半径的球面方程为特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为重难点突破重点:了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置,会推导和使用空间两点间的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比,认识空间点的对称及坐标间的关系重难点: 在空间直角坐标系中,点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1借助空间几何模型进行想象,理解空间点的位置关系及坐标关系问题1:点到轴的距离为 解析借助长方体来思考,以点为
3、长方体对角线的两个顶点,点到轴的距离为长方体一条面对角线的长度,其值为2将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2:对于任意实数,求的最小值解析在空间直角坐标系中,表示空间点到点的距离与到点的距离之和,它的最小值就是点与点之间的线段长,所以的最小值为。3利用空间两点间的距离公式,可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线(3)得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析考点1: 空间直角坐标系题型1: 认识空间直角坐标系例1 (1)在空间直角坐标系中,表示 ( ) A轴上的点 B过轴的平面 C垂直于轴的平面 D平行于轴的直线(2)在空间直角坐标系中,方程表示A在坐
4、标平面中,1,3象限的平分线 B平行于轴的一条直线 C经过轴的一个平面 D平行于轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程表示所有横坐标为1的点的集合 解析(1)表示所有在轴上的投影是点的点的集合,所以表示经过点且垂直于轴的平面 (2)方程表示在任何一个垂直于轴的一个平面内,1,3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如:经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题例2 点关于轴的对称点为,点关于
5、平面的对称点为,则的坐标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系,得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点和关于轴对称, 所以点和的竖坐标相同,且在平面的射影关于原点对称,故点的坐标为,又因点和关于平面对称, 所以点坐标为 【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点为点关于原点的对称点,故坐标为【新题导练】1已知正四棱柱的顶点坐标分别为,则的坐标为 。解析正四棱柱过点A的三条棱恰好是坐标轴,的坐标为(2,2,5)2平行四边形的两个顶点的的坐标为,对角线的交点为,则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为 解析由已知
6、得线段的中点为,线段的中点也是,由中点坐标公式易得,3已知,记到轴的距离为,到轴的距离为,到轴的距离为,则( )A B C D解析借助长方体来思考, 、分别是三条面对角线的长度。,选C考点2:空间两点间的距离公式题型:利用空间两点间的距离公式解决有关问题XAYBOZP例3 如图:已知点,对于轴正半轴上任意一点,在轴上是否存在一点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。【解题思路】转化为距离问题,即证明解析设 ,对于轴正半轴上任意一点,假设在轴上存在一点,使得恒成立,则即,解得:所以存在这样的点,当点为时,恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中,利用距离可以证明垂直问题。此外,用距
7、离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4已知,当两点间距离取得最小值时,的值为 ( ) A19 B C D解析当时,取得最小值5已知球面,与点,则球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是 。解析球心,球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是9和36已知三点,是否存在实数,使A、B、C共线?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。解析 ,因为,所以,若三点共线,有或,若,整理得:,此方程无解;若,整理得:,此方程也无解。所以不存在实数,使A、B、C共线。抢分频道基础巩固训练1将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时,我们通常将轴与轴,轴与轴所成的角画成( )A B C D解析:选
8、B2. 点在平面上的投影点的坐标是 ( )A B C D 解析:两点的纵坐标、竖坐标不变,选B3. 三棱锥中,此三棱锥的体积为( )A1 B2 C3 D 6解析 两两垂直,4(2007山东济宁模拟)设点B是点A(2,-3,5)关于平面的对称点,则|AB|等于( )A10 B C D38 解析 A点A(2,-3,5)关于平面的对称点为,5(2007年湛江模拟)点关于轴的对称点为, 关于平面的对称点为,则= 解析 ,6正方体不在同一表面上的两顶点P(-1,2,-1),Q(3,-2,3),则正方体的体积是 解析 不共面,为正方体的一条对角线,正方体的棱长为4,体积为64 综合提高训练7空间直角坐标系
9、中,到坐标平面,的距离分别为2,2,3的点有A.1个 B.2个 C.4个 D.8个解析:8个。分别为(3,2,2)、(3,2,-2)、(3,-2,2)、(3,-2,-2)、(-3,2,2)、(-3,2,-2)、(-3,-2,2)、(-3,-2,-2)8(2007山东昌乐模拟)三角形的三个顶点的坐标为,则的形状为( )A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形解析 C9(2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系中有一点,点是平面内的直线上的动点,则两点的最短距离是( )A B C3 D 解析因为点B在平面内的直线上,故可设点B为,所以,所以当时,AB取得最小值,此时点B为。BXACYDZOQP10如图,以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴,建立空间直角坐标系,点在正方体的对角线上,点在正方体的棱上。(1)当点为对角线的中点,点在棱上运动时,探究的最小值;(2)当点在对角线上运动,点为棱的中点时,探究的最小值; 解析由已知,(1)当点为对角线的中点时,点坐标为,设,则,当时,取到最小值为,此时为的中点。(2)当点为棱的中点时,点的坐标为,设,则,所以点的坐标为,所以,当,即为的中点时,取到最小值。您好,欢迎您阅读我的文章,本WORD文档可编辑修改,也可以直接打印。阅读过后,希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯,坚持下去,让我们共同进步。