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1、第三章 复变函数的积分复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质都要利用复变函数的积分来证明。本章的重点是第二节柯西积分定理，第三节柯西积分公式及其推论。约定，除非特别声明，否则，曲线指光滑或逐段光滑曲线，围线指逐段光滑的简单闭曲线，逆时针方向为正向，顺时针方向为负向。第一节 复积分的概念及简单性质一.概念1.定义 设有向曲线()以为起点，为终点，沿有定义，顺着沿从到的方向在上取分点，把曲线分成若干个弧段，在从到的每一个弧段上任取一点,并作和数,其中,如果当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时,和数的极限存在且等于,则称 沿从到可积，称为沿从到的积分，并记为，其
2、中称为积分路径。注 (1)“和数的极限”是指复数列的极限。 (2)积分存在时一般记为，而不写成。因为的值不仅与,有关，而且和积分路径有关。 (3)表示沿的正方向的积分，表示沿 的负方向的积分。2.可积的必要条件 沿 可积 沿 有界。3.可积的充分条件 定理3.1 若沿曲线连续，则沿可积且证 记由于沿曲线连续,故沿曲线连续，从而均存在。因此， 二.性质1.线性 （为复常数）2.可加性(由,衔接而成)3.方向性4.绝对值不等式( 表示弧长的微分)5.积分估值定理3.2 沿连续且使，的长为，则 。证 4.,取极限即得。5.,取极限即得。例1 表示连接的任一曲线，则(1) (2) 证（1）取,。令，
3、当时,，故。（2）取 ， ， 则 ，令 ， 则 ；取 ， 则 ，从而 ， 于是例2 求 其中为以为中心为半径的圆周。(重要积分)解 ,当 时， 当 时， 例3 试证，其中为连接和的直线段。 证 由于 沿连续且,故 。例4 试证。证 由于，故 式中等号当且仅当时成立，但依题意，故得证。例5 计算，其中为 （1）连接到的直线段； （2）连接到的直线段及连续到的直线段所成折线。 解 （1）, (2) 例6计算（1） （2） （3） （4） 解的参数方程为 （1） （重要积分）（2） （3） （4）作业P135:1、2、3第二节 柯西积分定理数学分析中，若 为封闭光滑曲线， 所围成的区域为 如果有 ，
4、则以上两积分均为0。于是思考 必与 的解析性有关， 可以证明还与区域的单连通性有关。一.柯西积分定理1.柯西积分定理定理3.3 设函数在平面上的单连通区域内解析,为内任一围线，则 。证明略（古莎证明不难但太繁琐）2.柯西积分定理的等价形式定理 设是一围线,为的内部,在闭域上解 析，则 。注 在闭域解析在包含的某区域内解析证明 等价性“定理3.3 定理3.3”由注即得。“定理 定理3.3” 设为的内部则在上解析,由定理， ，即得。例1求 。解 的奇点为 ，在的外部，故 在以 为边界的闭圆 上解析，故 。3.两个推论推论3.4 若在 平面上单连通区域内解析, 为 内任 一闭曲线（不必是简单的，即可
5、能有重点）， 则 证 可看作内有限多条围线衔接而成。推论3.5 若在平面上单连通区域内解析,则在内积 分与路径无关。证取内任意两点与 ，设起点为,终点为。为连接与的任意曲线,且连接成一个围线，则从而 例2 求，从1到1的上半单位圆周。解由于在平面解析,故。例3分析在为（1）从1到1的上半单位圆周；（2）从1到1的下半单位圆周；（3）从1到 再到1的折线段， 时三者的关系。解由于 在 平面仅有奇点 ，故 。二.柯西积分定理的两种推广1.条件减弱定理3.9 设 为围线 的内部。函数 在 内解析，在 上连续，则 。证明：略。注 条件“在上连续,在上解析”不可改写为“在 内解析在 上连续”。例4 ,取
6、的分支。解由 在 上解析故 在 上连续，从而 2.适用范围推广（有界单连通 有界多连通区域）定义 复围线由条相邻(不相交也不相切) 的围线构成,其中中每一条都在其余各条的外部,而它 们又全都在的内部。的方向定为：当观察者沿的正方向 绕行时，为边界的有界多连通区域总在他的左手 边。定理3.10 设是复围线所围成的有界多连通区域， 在 内解析，在 连续，则 ，即沿外边界积分等于沿内边界积分之和。证 取条互不相交且完全在内(端点除外)的光滑弧 为割线,依次与连接。设想将沿割线割破，则 就被分成两个单连通区域，其边界分别为围线与围线,于是 ， , 且 例5 设为围线内部一点，求。解 以为圆心作圆周,使
7、全含于的内部,则在 内部、外部所成区域上解析，在上连续，故 。例6 计算，其中（1）（2）。解（1）由于的奇点在的内部，而奇 点 在 的外部，故 在 上解析。 于是 ， 故 。 （2）由于的奇点及均在的内部,故在内分别作以、1为心，半径均为的小圆 、 ，则在以及、为边界的多连通区域内解析，在 上连续，故三.变上限积分与原函数1.变上限积分定义 设 在单连通区域 内解析，为内一定点，对任意 ,定义的变上限积分为。是 一个单值函数。定理3.6 设 在单连通区域 内解析，则变上限积分在 内解析且 。证 ,以为心,为半径作一含于的小圆，取圆内动点 ，取到的曲线，使其经过点并全含于内。 由于 在 内连续
8、， 故 ， 又由于 故由的任意性知，当时 ，即 。定理3.7 （1）在单连通区域内连续； （2）沿内任一围线的积分值为0（从而积分与路径无关）， 在 内解析（ 为 中一定点）,且 2.原函数定义 设在区域内连续，若则称 为 的一个不定积分或一个原函数。定理3.8 若在单连通区域内解析（或在内连续 沿内任一围线的积分值为0),则（1）的 不定积分一般表达式为 ；（2）若 为 的一个不定积分， 则 。证（1）由,根据第二章习题的结 论即知 ，即得。 (2)设 为 的一个原函数， 则由(1)，。 令 则得，从而得证。例 计算积分路径是顶点为, ,的四边 形的边。解 取位于原点右边连接到的右半单位圆周
9、。设,则,从而。作业P136:4（1）（2）、6、8第三节 柯西积分公式及其推论一.柯西积分公式1.柯西积分公式定理3.11 设区域的边界是围线(或复围线),在内解析，在 上连续。则 或 。称 为柯西积分。证对任意固定，由于 在 连续，故 。令 ，则在 内 以 为唯一奇点，故 又故由的任意性，即有 ，从而得证。例1 求，其中（） （2）解(1)原式 (2)原式例2 求解法一解法二注 公式中是被积函数 在内部的唯一奇点,若 在 内部有两个以上奇点，就不能直接应用柯西积分 公式。例3 求 解 2.柯西高阶导数公式定理3.13 若在区域内解析，在 上连续，则 在 内有各阶导数， 且 证当 时，对 ，
10、 下证 在充分小时不超过任给正数。设沿, 表示与上点 间的最短距离，于是当 时，先设，于是 ，故 ，其中 为 的长度只要取 ，即得 当 时公式成立，当 时，只须验证 在 时以 为极限，方法和证明 时类似，但稍微复杂些，略去。例4 计算 , 是绕 一周的围线。解 例5 设 ,求解 当 时，由柯西积分定理 ，从而 当 时，由柯西高阶导数公式故 第四节 解析函数与调和函数的关系一.调和函数与共轭调和函数1.定义3.5若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数且满 足拉普拉斯方程，则称为 区域内的调和函数。记，则为运算符 号，称为拉普拉斯算子。2.定义3.6在区域内满足条件： 的两个调 和函数中,称为在区域
11、内的共轭调和函数。 注: 在内的共轭调和函数应为 。 3.定理3.18 若在区域内解析，则在区域 内 必为 的共轭调和函数。证 由在 内解析知， ，从而 。又解析函数具有的无穷可微性保证，在 内均连续，故必相等，于是在 内 。 同理，即，满足拉普拉斯方程。已知，求使解析二.从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。1.线积方法定理3.19 设 是在单连通区域 内的调和函数，则存在 ，使 是 内的解析函数。 （其中是内定点,是内动点,为任意常数，积分与路径无关）证 要使成为解析函数,则必须满足条件 ( 条件), 又 ,故 ， 又 在单连通区域 可微，故积分与路径无关， 从而2.条件由，两边对求积分,两边同时求的偏导，由 条件两边对求积分求得的表达式,从而 3.观察法例1 验证是平面上的调和函数,并求出以为实部的解析函数,使。解(1) 故 (2) 方法一故又 故 ，从而 。方法二
