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1、精品集合单元总结 本章的重点是 (1)有关集合的基本概念、术语和符号； (2)xa与xa(a0)型的不等式的解法，一元二次不等式的解法； (3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充分条件和必要条件.本章的难点是 (1)有关集合的各个概念的涵义、它们之间的区别与联系； (2)对绝对值意义的理解； (3)弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系； (4)对一些数学命题真假的判断、关于充要条件的判断和反证法的运用.本章内容是高中数学的基础知识，其中集合论是由18世纪德国数学家康托尔创始的，是近、现代数学的一个重要基础；逻辑是研究思想形式及其规律的一门基础学科，它们今后学习的内容有着密切联
2、系，学好本章内容必将为进一步学习其它知识奠定坚实的基础.【基本概念】1.集合一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.表示集合的方法有列举法、描述法和图示法，集合可分为有限集和无限集.2.空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作?.3.子集一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A?B(或B?A).这时我们也说集合A是集合B的子集.当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作BA?（或AB?）我们规定空集是任何集合的子集.也就是说，对任何一个集合A，有?A4.等集一般地，对于两个
3、集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作AB5.全集如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示.6.补集一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A?S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作CSA，即CSAxxS，且x?A.7.交集，并集一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)，即ABxxA，且xB.而由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的
4、并集，记作AB(读作“A并B”)，即ABxxA，或xB.对于交集“ABxxA，且xB”，不能简单地认为AB中的任一元素都是A与B的公共元素，或者简单认为A与B的公共元素都属于AB，这是因为并非任何两个集合总有公共元素.当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB?.对于并集“ABxxA，或xB”，不能简单地理解为AB是由A的所有元素与B的所有元素组成的集合，这是因为A与B可能有公共元素，故上述理解与集合的互异性不符.8.逻辑联结词“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑关结词.不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题.9.四种命题在两个命题中，如果第一个命题
5、的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题.10.充要条件一般地，如果已知p?q,那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.这时，p
6、既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.【基本性质】1.基本符号?,.,xA y?A x属于A；x是集合A的一个元素y不属于A；y不是集合A的一个元素a,b,c,.nxp(x),xA诸元素a,b,c,.n构成的集合使命题p(x)为真的A中诸元素之集合?空集N*或N+非负整数集；自然数集N正整数集Z Q整数集有理数集R C?B?A实数集复数集B包含于A；B是A的子集BA B真包含于A；B是A的真子集B?A B不包含于A；B不是A的子集AB A与B的交集C AB CABA与B的并集A中子集B的补集或余集2.集合部分?A；?A(A非空)；A?A；(CUA)A?
7、；(CUA)AU；CU(CUA)A；A?B?C?A?C；ABC?AC；AB?A；B?AB；CU?U；CUU?；A?B?ABA；A?B?ABB；CU(AB)(CUA)(CUB)；CU(AB)(CUA)(CUB)3.ax+bc(c0)?-cax+bcax+bc(c0)?ax+bc或ax+bc【基本规律】1.复合命题真假判断表非p形式复合命题的真假可以用下表表示.p非p真假假真p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.p真真假假q真假真假P且q真假假假p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.p真真假假q真假真假p或q真真真假2.四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系，如图所示.我们已经知道，原命
8、题为真，它的逆命题不一定为真.一般地一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系. (1)原命题为真，它的逆命题不一定为真. (2)原命题为真，它的否命题不一定为真. (3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.【基本方法与思想】1.绝对值不等式的解法xa(a0)的解集是xaxa;xa(a0)的解集是xx-a，或xa.注对于ax+bc(或c，其中c0)的解法可用换元法解.2.一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集如下表.判别式b24ac000二次函数ax像y2+bx+c(a0)的图yax2+bx+c yax2+bx+c yax2+bx+c一元二次方程ax的根2+bx
9、+c0(a0)的解集2+bx+c0(a0)的解集对于绝对值不等式ax+bc(或c,其中c0)可采用平方去绝对值法，即化为(ax+b)3.充要条件的判定方法若p?q但q若pq，但q?p,则p只是q的必要不充分条件；若p?q，且q?p，则p只是q的充要条件；注必须看两个方向，即p?q，q?p结果如何?才能下结论.4.反证法反证法是“原命题与其逆否命题同真同假”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤如下2+bx+c0(a0)有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2ba2没有实根axxxx1或xx2xxab2R axxx1xx2?2c2(或c2)p，则p只是q的充分不必要条件；
10、(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.【学习要求和需要注意的问题】1.学习要求 (1)集合理解集合、子集、交集、并集、补集的概念了解空集和全集的意义了解属于、包含、相等关系的意义会用集合的有关术语和符号表示一些简单的集合.掌握简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法. (2)简易逻辑了解命题的概念和命题的构成.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.掌握四种命题及其相互关系.初步掌握充要条件.2.需要注意的问题 (1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教科书中是通过描述给出的
11、，这与平面几何中的点与直线的概念类似，但是，应该清楚集合中的元素具有确定性，互异性.确定性是指给定一个集合，一个对象属于不属于这个集合就是明确的，象很大的数，不能组成一个集合.互异性是指在一个集合中，任何两个元素是不同的对象，相同的对象只能算作这个集合的一个元素.此外，集合中的元素还具有无序性，例如，1，2，44，2，1. (2)容易混淆的符号与?的区别符号是表示元素与集合之间关系的，例如，有1N，1?N等；?符号是表示集合与集合之间关系的，例如，有N?R，?R等.a与a的区别一般地，a表示一个元素，而a表示只有一个元素的集合，例如，有11,3,4,00,1?1,3,4等，不能写成00,11,
12、3,4,1?1,3,4.(A级达纲级)1.选择题(31030分) (1)下列命题或记法正确的是()R(A)R(B)Zxx0，xz(C)空集是任何集合的真子集(D)? (2)满足a,bMa,b,c,d的所有集合M的个数是().(A)7(B)6(C)5(D)4 (3)如果Sxx2n1,nz,Txx4k1，kz.那么(A)ST(B)TS(C)ST(D)ST (4)ab0，则下列四个不等式a+baa+bba+ba-b其中正确的是()a+bab(A)与(B)与(C)与(D) (5)?3042xyyx是?3210yx的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (6)当x2a时，不等式x
13、(D)既不充分也不必要条件241成立，则正数a的取值范围是()(A)a52(B)0a52(C)a52(D)a52 (7)设xR，则(1x)(1+x)0成立的充要条件是().(A)-1x1(B)x-1或x1(C)x1 (8)原命题“若xy=1，则x,y互为倒数”，则()(D)x1且x-1(A)逆命题和逆否命题真，否命题假(B)逆命题假，否命题和逆否命题真(C)逆命题和否命题真，逆否命题假(D)逆命题、否命题、逆否命题真 (9)若p?q，则()(A)pq(B)p?q(C)q?p(D)pq (10)用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()(A)假设至少有一个钝角(C)假设
14、没有一个钝角(B)假设至少有二个钝角(D)假设没有一个钝角或至少有二个钝角2.填空题(4520分) (11)已知Axx3,Bxxm,要使AB?，则m应满足的条件是. (12)设集合Ax21?xN*,B=xx=3K,KN*，若全集SN*，则(CSA)B. (13)不等式x2-ax-b0的解集是x2x3，则bx2-11的解集是. (15)设全集S有两个子集A、B，若(CSA)?B，则A是(CSB)的条件.3.解答题(共50分) (16)判断命题“若x3，则x2-ax-10的解集是. (14)不等式x2-x-60”的否命题的真假.(6分) (17)用反证法证明五个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数.(6分) (18)在直角坐标系中，求点(x2-3x-4,x2-3x+4)在第一象限的充要条件.(6分) (19)已知集合A-3,x,B=3,x，若集合AB是单元素集合，求实数x取值的集合M，并说明M是无限集还是有限集.(6分) (20)解不等式222315xxxx?1.(8分) (21)解不等式2x-3-x+12.(8分) (22)已知全集2+1,其中aR，若AB-3,
