《（江苏专用）高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形应用举例课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形应用举例课件（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7讲讲 解三角形应应用举举例 考试要求 1 运用正弦定理 余弦定理解决简单的三角形度量问题 B级要求 2 运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 B级要求 知 识 梳 理 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角 目标视线 在水平视线 叫 仰角 目标视线 在水平视线 叫俯角 如图1 上方 下方 2 方位角 从正北方向起按顺时针转 到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角 如B点的方位 角为 如图2 3 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 如南偏东30 北偏西45 等 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的正切值 1 思考辨析 在括号
2、内打 或 1 在 ABC中 若sin Asin B cos Acos B 则此三角形是钝角三角形 诊 断 自 测 3 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察点与目标点之间的位置关 系 解析 2 俯角是视线与水平线所构成的角 答案 1 2 3 2 教材改编 为了在一条河上建一座桥 施工前在河两岸打上两个 桥位桩A B 如图 要测算两点的距离 测量人员在岸边定出基 线BC 测得BC 50 m ABC 105 BCA 45 就可以计算 出A B两点的距离为 m 3 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5 n mile 灯塔A在观察站C的北偏东20 灯塔B在观察站C的南偏东40 则灯塔A与灯塔B
3、的距离为 n mile 4 2018 苏北四市联考 一艘海轮从A处出发以每小时40海里的速度沿南偏东40 的方 向直线航行30分钟后到达B处 在C处有一座灯塔 海轮在A处观察灯塔 其方向 是南偏东70 在B处观察灯塔 其方向是北偏东65 那么B C两点间的距离是 海里 5 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测 得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上 行驶600 m后到达B处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度CD m 考点一 测量距离 高度问题 1 求烟囱AB的高度 2 如果要在CE间修一条直线 求CE的长 解 1 设AB的高度为h 在 CAB中
4、因为 ACB 45 所以CB h 在 OAB中 因为 AOB 30 AEB 60 故烟囱AB的高度为15 m 所以在 OCE中 故CE的长为10 m 规律方法 测量距离 高度问题应 注意 1 理解俯角 仰角的概念 它们都是视线与水平线的夹角 理解方向角的概念 2 选定或确定要创建的三角形 要首先确定所求量所在的三角形 若其他量已知 则直接解 若有未知量 则把未知量放在另一确定三角形中求解 3 确定用正弦定理还是余弦定理 如果都可用 就选择更便于计算的定理 训练1 1 一船以每小时15 km的速度向东航行 船在A处看到一个灯塔B在北偏东 60 行驶4 h后 船到达C处 看到这个灯塔在北偏东15
5、这时船与灯塔的距离 为 km 2 如图所示 为测一树的高度 在地面上选 A B两点 从A B两点分别测得树 尖的仰角为30 45 且A B两点间的距离为60 m 则树的高度为 m 解析 1 如图 由题意 BAC 30 ACB 105 B 45 AC 60 km 2 在 PAB中 PAB 30 APB 15 AB 60 考点二 测量角度问题 解 如图所示 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 若在D处相遇 则可先在 ABC中求出BC 再在 BCD中求 BCD CBA 45 即B在C正东 CBD 90 30 120 即缉私船沿北偏东60 方向能最快追上走私船 规律方法 解决测量角度问题的注意事项
6、 1 首先应明确方位角或方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意画出正确的示意图 这是最关键 最 重要的一步 3 将实际问题转 化为可用数学方法解决的问题后 注意正弦 余弦定理的 联袂 使用 训练2 甲船在A处 乙船在A处的南偏东45 方向 距A有9海里的B处 并以20海 里每小时的速度沿南偏西15 方向行驶 若甲船沿南偏东 的方向 并以28海里每 小时的速度行驶 恰能在C处追上乙船 问用多少小时追上乙船 并求sin 的值 结 果保留根号 无需求近似值 解 设用t小时 甲船追上乙船 且在C处相遇 那么在 ABC中 AC 28t BC 20t AB 9 ABC 180 15 45
7、120 又 ABC 120 BAC为锐角 所以 45 BAC 考点三 函数思想在解三角形中的应用 角度1 距离的最值 例3 1 2019 镇江模拟 如图 某公园有三条观光大道AB BC AC围成直角三 角形 其中直角边BC 200 m 斜边AB 400 m 现有甲 乙 丙三位小朋友分别 在AB BC AC大道上嬉戏 所在位置分别记为 点D E F 1 若甲 乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走 到大道的另 一端时即停 乙比甲迟2分钟出发 当乙出发1分钟后 求此时甲 乙两人之间 的距离 在 BDE中 由余弦定理得 2 由题意得EF 2DE 2y BDE CEF 在直角三角形C
8、EF中 CE EF cos CEF 2ycos 角度2 面积的最值 例3 2 2019 苏州一模 某单位设计一个展览沙盘 现欲在沙盘平面内布设一 条对角线在l上的四边形电气线路 如图所示 为充分利用现有材料 边BC CD 用一根5米长的材料弯折而成 边BA AD用一根9米长的材料弯折而成 要求A和 C互补 且AB BC 1 设AB x米 cos A f x 求f x 的解析式 并指出x的取值范围 2 求四边形ABCD面积的最大值 解 1 在 ABD中 BD2 AB2 AD2 2AB AD cos A 在 CBD中 BD2 CB2 CD2 2CB CD cos C 因为A和C互补 所以AB2 A
9、D2 2AB AD cos A CB2 CD2 2CB CD cos C CB2 CD2 2CB CD cos A 即x2 9 x 2 2x 9 x cos A x2 5 x 2 2x 5 x cos A 记g x x2 4 x2 14x 49 x 2 5 由g x 2x x2 14x 49 x2 4 2x 14 2 x 7 2x2 7x 4 0 函数g x 在区间 2 4 内单调递 增 在区间 4 5 内单调递 减 因此g x 的最大值为g 4 12 9 108 角度3 时间的最值 1 试建立由A经P到C所用时间与 的函数解析式 2 试确定登陆点P的位置 使所用时间最少 并说明理由 解 1
10、由题意 轮船航行的方向角为 所以 BAP 90 AB 50 所以由A经P到C所用时间与 的函数解析式为 所以在BC上选择距离B为17 68 km处为登陆点 所用时间最少 规律方法 解三角形应用问题的步骤与注意点 1 阅读理解题意 弄清问题的实际背景 明确已知与未知 理清量与量之间的关 系 2 根据题意画出示意图 将实际问题 抽象成解三角形问题的模型 3 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解 4 将三角形问题还 原为实际问题 注意实际问题 中的有关单位问题 近似计算的 要求等 5 对于三角形应用问题中的最值问题 可建立函数模型 转化为函数的最值问题 解 决 训练3 如图 半圆O的直径为2 A为直径延长线上的一点 OA 2 B为半圆上 任意一点 以AB为一边作等边三角形ABC 问 点B在什么位置时 四边形OACB 面积最大 解 设 AOB 在 AOB中 由余弦定理得AB2 OA2 OB2 2 OA OBcos AOB 12 22 2 1 2 cos 5 4cos 于是 四边形OACB的面积为
