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1、第五讲 平面直角坐标系 知识梳理知识点1、平面直角坐标系的概念重点：平面直角坐标系的概念难点：概念的理解和灵活运用在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就构成了平面直角坐标系水平的数轴称为轴，竖直的数轴称为轴，两坐标轴的交点称为坐标原点如图1，两条坐标轴将坐标平面分成的四个区域称为象限，按逆时针顺序分别称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴不属于任何象限建立平面直角坐标系以后，平面内的点就与一对有序的实数（点的坐标）建立了一一对应的关系知识点2、象限内点的坐标特征来源:学科网重点：掌握各个象限内点的坐标特征难点：运用特征解答问题坐标轴把坐标平面分成四个象限，各象限内点的符号特征如图
2、所示，即象限以坐标轴为界限，按逆时针方向依次为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.第四象限第三象限第二象限第一象限xyO（，）（+，）（，+）（+，+）图例1对任意实数，点一定不在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限例2、若点P（a,b）在第四象限，则点M（b-a,a-b）在第 （ ） 象限.解题思路：上述例题主要考查平面直角坐标系内点的坐标的特征.例1因为，可知当时，一定有，所以这个点一定不在第二象限. 答案：B. 例2、由a0,b0，则b-a0，所以M在第二象限.练习1、下列各点中，在第二象限的点是 （ ）A（2，3） B(2,3) C(2,3)
3、 D(2, 3)2、已知坐标平面内点M(a,b)在第三象限，那么点N(b, a)在 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案：1、C 2、B知识点3、坐标轴上点的坐标特征重点：掌握坐标轴上点的坐标特征难点：分清坐标轴上的点，运用特征解答问题轴上的点纵坐标为0, 轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0）例1、若点P（x,y）的坐标满足xy=0(xy)，则点P（ ）A原点上 Bx轴上 Cy轴上 Dx轴上或y轴上例2、点P（m3, m1）在直角坐标系的x轴上，则点P坐标为 （ ）A（0，2） B（ 2，0） C（ 4，0） D（0，4）解题思路：运用轴上的点纵坐标为0, 轴上的点横坐标
4、为0.例1选D，例2、m=-1, P（2, 0）选B练习若点A(a 2 -9,a+2)在y轴上,则a=_.答案：3知识点4、平行于x轴，y轴的直线上点的坐标特征重点：掌握平行于x轴，y轴的直线上点的坐标特征难点：分清特征，运用特征解答问题平行于x轴的直线上点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上点的横坐标相同例 1、已知点A(1,2),ACX轴, AC=5,则点C的坐标是 _.解题思路：平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，答案(-4,2)或(6,2)例 3、已知点A(1,2),ACy轴, AC=5,则点C的坐标是 _.解题思路：平行于y轴的直线上点的横坐标相同，答案(1,7)或(1,-3)练习已知长方
5、形ABCD中，AB=5，BC=8，并且ABx轴，若点A的坐标为（2，4），则点C的坐标为_.答案、（3，-4）或（7，-4）知识点5、象限的角平分线上点的坐标特征重点：掌握象限的角平分线上点的坐标特征难点：分清特征，运用特征解答问题第一、三象限角平分线的点横纵坐标相同；第二、四象限角平分线的点横纵坐标互为相反数例1当b=_时,点B(3,|b-1|)在第一.三象限角平分线上.来源:学科网ZXXK例2当b=_时,点B(3,b-1)在第二.四象限角平分线上.解题思路：运用象限的角平分线上点的坐标特征，例1、|b-1|=3，b=4或-2；例2、b-1+3=0，则b=-2练习已知点A（3x-2y，y+1
6、）在象限的角平分线上，且点A的横坐标为5，求x、y的值答案：x=13/3,y=4或-7/3，y=-6知识点6、点到x轴，y轴的距离点P（x,y）到x轴，y轴的距离分别为|y|和|x|,到原点的距离例M为X轴上方的点，到X轴距离为5，到Y 的距离为3，则M点的坐标为（ ）.A（5，3） B（-5，3）或（5，3）C（3，5） D（-3，5）或（3，5）解题思路：结合坐标系，注意不同的情况，选D练习在平面直角坐标系中，点A到横轴的距离为8，到纵轴的距离为4，则点A的坐标为；答案：（4，8）或（-4，8）或（-4，-8）或（4，-8）知识点7、平移问题：重点：掌握平移的规律 难点：平移规律的运用1
7、点的平移：在平面直角坐标系中，将点（ x,y ）向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x+a, y ） ( 或（x-a，y） ) ；将点（ x, y ）向上（或下）平移 b 个单位长度，可以得到对应点 (x, y+b) ( 或（x, y-b） ) .2 图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向 左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度.例1已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2,4)
8、,现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形ABCD，则C点的坐标为（ ）A. （5，4） B. （5，1） C. （1，1） D. （-1，-1）例2. 适当建立直角坐标系，描出点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），并用线段顺次连接各点. 看图案像什么？. 作如下变化：纵坐标不变，横坐标减2，并顺次连接各点，所得的图案与原来相比有什么变化？来源:学科网来源:学科网来源:学科网来源:学。科。网来源:Zxxk.Com来源:学科网解题思路：运用平移的规律：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减）一个正数 a
9、，相应的新图形就是把原图形向右（或向 左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度.例1、选C 例2、图略（1）. 像“鱼”、（2）图案向左平移两个单位知识点8、平面直角坐标系中对称点的特点重点：掌握平面直角坐标系中对称点的特点难点：对称点的特点的运用1.关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数.2.关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数.3关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数.例1、点M（5，6）关于x轴的对称点的坐标是（ ）（A）（6
10、，5）（B）（5，6）来源:Z+xx+k.Com（C）（5，6）（D）（5，6）例2、点N（a，-b）关于原点的对称点是坐标是（ ）.（A）（-a，b）（B）（-a，-b）（C）（a，b）（D）（-b，a）解题思路：例1把点M（5，-6）和选项中的四个点都描在同一坐标系内，可发现只有点（5，6）和M点关于x轴对称，因此选C另法：点M（5，-6）在第四象限，和点关于x轴对称的点应在第一象限，选项中只有点（5，6）在第一象限，因此选C方法三：两个点关于x轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，反之也对在选项中的四个点，只有点（5，6）符合题意因此选C例2两个点关于原点对称，它们的横坐标互为相反
11、数，纵坐标也互为相反数，反之也对选项中只有点（-a，b）符合题意，因此选A另法：或令a1，b1，则点的坐标为（1，1）在第四象限，和关于原点对称的点应在第二象限，其坐标为（-1，1）只有（-a，b）合题意，因此选A最新考题从近几年的中考看，直接考查本讲的题目约占4%左右，题型有选择、填空、解答等，本讲知识是今后复习函数及其图像等知识的基础，因此中考常常结合相关知识综合命题，平面直角坐标系相关知识与地理问题相结合，但实质仍为坐标问题，借助坐标系中点与坐标的对应关系来确定位置.平面直角坐标系中确定点的位置问题，是近年来中考命题的重点多以选择题、填空题形式出现.1、考查平面内点的特征例1 (2020
12、年牡丹江市) 若点P（a，b）在第二象限，则点Q（a，b1）在（ ）A、第一象限B、第二象限 C、第三象限D、第四象限解题思路：这是一道数形结合题，要根据各象限内点的坐标的符号特征来解.因为点P（a，b）在第二象限，所以a0，于是，即点Q（a，b1）在第四象限，故选D.点拨：数形结合思想使几何图形和代数知识有机地结合在一起，使抽象的代数问题变得直观、形象，我们在解题时，要学会由形想到数，由数想到形.2、考查坐标的计算例2（2020年南充 ） 如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点B的坐标是（ ）.A、（3，7）B、（
13、5，3）C、（7，3）D、（8，2）图1来源:Zxxk.Com解题思路：根据点的坐标的确定方法，过点C分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、F.过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E、F.因为四边形OABC是平行四边形，CB/OA，且CB=OA，则四边形OGCF和四边形OEBF均为矩形，所以BE=CG=3，GE=CB=OA，BF=CB+CF=GE+OG=5+2=7，所以点B的坐标为（7，3），故选C.点拨：点的坐标是一对有序实数，过某一点作x轴的垂线，垂足所对应的数字即为它的横坐标，作y轴的垂线，垂足所对应的数字即为它的纵坐标.故要求点的坐标，就要求出这两个垂足所对应的数字.3、考查平面直角坐标系中图形面积的计算例3 （2020年常德市） 如图2，平面直角坐标系中，ABC的顶点都在格点上（每个小方格的边长都为1cm）.其中A点的坐标为（2，1），则ABC的面积为_.图2解题思路：经观察可知点B的坐标为（4，3），点C的坐标为（1，2
