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1、第二讲 整式 知识梳理知识点一、整式有关的概念重点：单项式、多项式、同类项的有关概念单项式：数或字母的积形式的式子叫单项式单独一个数或一个字母也是单项式难点：概念的理解及运用整式1.多项式：几个单项式的和2、单项式、多项式的次数和系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，每个单项式叫多项式的项。不含字母的项叫做常数项。3、同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。（两相同：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同；两无关：与系数无关，与字母的顺序无关）例1.若与的
2、和是单项式，则 解题思路：由它们的和是单项式，则它们是同类项，由同类项的意义知：m+5=3,n=2所以m=-2,n=2答案：例2.下列结论正确的是（ ）A、 没有加减运算的代数式叫整式 B、 单项式的系数是，次数是4C、单项式m既没有系数，也没有次数 D、单项式的系数是-1，次数是4解题思路：要弄清整式、单项式的系数和次数的概念答案：D例3多项式有_项，分别是_,它的次数是_解题思路：弄清多项式的项和次数的概念.答案：三 ， ， 5知识点二、整式的加减重点：合并同类项的方法，整式加减的步骤难点：合并同类项1. 合并同类项的方法把多项式中的同类项的系数相加作为新的系数，而字母部分不变2. 整式的
3、加减整式加减的实质就是合并同类项例1化简解题思路：先去括号再合并同类项，去括号注意符号变化 例2一个多项式加上x2y-3xy2得2x2y-xy2，则这个多项式是（ ）A、3x2y-4xy2； B、x2y-4xy2； C、x2y+2xy2； D、-x2y-2xy2 解题思路：先列整式，再运用整式加减运算知识点三、整数幂的运算性质重点：整数幂的运算性质及运用难点：性质的理解与运用1. 同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即：amanam+n（m、n都是正整数）.2. 同底数幂的除法amanamn（a0，m、n都是正整数，并且mn）即：同底数幂相除，底数不变，指数相减 a0=1（a0）3
4、. 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘即：（am）namn（m、n都是正整数）4. 积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方的积即：（ab）n=anbn注意：整数幂的运算性质的逆运算也有广泛的应用例题分类讲解1.比较大小例1 已知a=355,b=444,c=533,则有（ ）A.abc; B.cba; C.cab; D.acb.解题思路：三个幂的指数的最大公约数是11，可以通过逆用幂的乘方法则化成同指数幂，然后比较底数，则谁大谁小一目了然. 解： a=355=（35）1124311， b=444（44）1125611， c=533（53）1112511， 而125243256， 53335
5、5 b=444，即cab. 故选C. 【说明】 比较指数较大的幂的大小有两种途径：一是将其化成同底数幂，比较指数；二是化成同指数幂比较底数，例：比较410与218的大小，可以将410化为 (22)10=220则4102182、求值问题 例2.已知am=3，an2，求下列各式的值（1）a m+1； （2）a 3+n； （3） a 3m+2n. （4） 解题思路：（1），（2）两式的指数是相加的形式，很明显是同底数幂相乘的结果，因此我们可以逆用同底数幂的乘法法则把它“退回去”，如am+1=ama；（3）小题则需逆用同底数幂的乘法法则与逆用幂的乘方法则相结合.（4）小题需逆用同底数幂的除法法则与逆用
6、幂的乘方法则相结合 解： （1）a m+1=a ma=3a； （2） a 3+n=a 3a n2a3； （3） a 3m+2n（a m）3（an）23322108（4）=【说明】 本题对幂的运算要求很高，要熟练掌握运算法则才能灵活运用.3、解方程 例3 如果3 2x+3-3 2x+1=72，试求出使等式两边相等的x值. 解题思路：我们都知道题中让我们求使等式成立未知数的值其实就是让我们解方程.从方程的左边两部分来看，都是底数为“3”、指数为“x”的幂的形式，可以用幂的运算来解决. 解： 3 2x+3-3 2x+1=72 2432x=72 32x=3 2x=1 X=这道题若改为3 2x+3-3
7、2x+1=24应该如何求解呢？3 2x+3-3 2x+1=24 2432x=24 32x=1 2x=0 X=0这两有什么区别呢？我们需注意逆用零指数幂a0=1.题中就运用到13 0【说明】根据同底数的两个幂相等，它们的幂指数一定相等，即am=an，则有m=n（m、n为整数）4、简化计算例4、解题思路：通过观察我们发现本题的指数都比较大，按常规的方法计算是很难的，所以要通过技巧来解决.考虑到与-3，2与都是互为负倒数，乘积为-1.于是：先逆用同底数幂的乘法法则将 ，则再逆用积的乘方法则进行计算 解：原式= = =知识点四、整式的乘除重点：掌握整式乘除的运算法则难点：法则的运用1、 整式的乘法单项
8、式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 2、 整式的除法单项式相除 多项式除以单项式 例题分类讲解1、 确定字母的值例1 若，求m-n的值。解题思路：通过观察我们发现左面运用单项式乘以单项式的法则结果为，由相等关系得到二元一次方程组：解得：则m-n=1-2=解：= 解得： 则m-n=1-2=例2、在计算结果中不含和x项，则a=_b=_.解题思路：先按多项式乘以多项式法则展开、合并，然后理解“不含和x项”的意义，再列方程组求解解：原式= =因为不含和x项，所以只有这两项前面的系数为0才合题意，于是得到：解得： 说明：结果中不含和x项，也可以说结果与和x项无关。2、比较大小例1已知
9、，则、的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）不能确定.解题思路：设，那么，.所以，应选C.例2 若，则、的大小关系是_ .解题思路：设，那么，.所以.2、 计算例1 计算xm+n(15xmyn)(5xm)2的结果是（ ）A.3xnynB.xnynC.x2nD.yn答案：C 直接运用乘除法法则例2 计算.解题思路：设，那么原式.五、乘法公式 平方差公式：（a+b）（ab）= a2b2即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差 完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（ab）2=a22ab+b2即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍例题分类讲解1、用公式计算例
10、1计算（1m）（m1）（m21）（m41）解题思路：连续应用平方差公式即可获解解：原式=（1m2）（1m2）（1m4）=（1m4）（1+m4）=1m8例2 计算下列各题(1)202022020401020202； (2)(5a+7b8c)2(5a7b+8c)2；解题思路：将4010化为22020，题(1)可逆用完全平方公式计算；题(2)的形式是个平方差，故逆用平方差公式可获巧解解：(1) 原式=(20202020)2=1(2) 原式=(5a7b8c)(5a7b8c)(5a7b8c)(5a7b8c)=10a(14b16c)=140ab160ac3、 求值例1若|xy5|（xy6）2=0，试求x2
11、y2的值解题思路：乘法公式变形后可得到以下一些新公式：a2 b2=(ab)22ab；a2 b2=(ab)22ab；(ab)2=(ab)24ab；(ab)2=(ab)24ab；(ab)2(ab)2=2 (a2 b2)；(ab)2(ab)2=4ab由已知条件根据非负数的性质可求出xy和xy的值，而x2y2可用xy和xy来表示(即新公式)，故其值可求解：由已知条件根据非负数的性质，得xy5=0， xy6=0，即xy=5， xy=6，故x2y2=(xy)22xy=5226=13例2、若 则=_解题思路：观察题目特点充分利用完全平方公式逆运算,再利用非负数的性质.解:六、因式分解 提取公因式法 公式法
12、a2b2=（a+b）（ab） a2+2ab+b2=（a+b）2，a22ab+b2=（ab）2 多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。例题1、分解因式：（1）（2）（3）（4）解题思路：因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。当某项完全提出后，该项应为“1”注意，分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。答案：（1）； （2）； （3）； （4）2、在实数范围内分解因式：；解答：最新考题考点综述：整式在中考中的考查内容较多，包括整式的有关概念及计算，同类项与去括号，以及幂的相关性质和运算，两个乘法公式的应用、因式分解则是考查的难点。考题大多以选择、填空及计算的形式出现，学生在理解整式概念和运算的基础上，要进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力。试题特点:整式书初中代数式的重要内容，中考试题以考查概念和计算为主，重点考查对概念的理解和基本的运算能力和技巧，试
