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1、微专题1运动图象追及相遇问题一理解x-t图象1.x-t图象描述的是位移(位置坐标)与时间(时刻)的对应关系,不是描述实际运动轨迹。2.x-t图象中某点切线的斜率表示速度的大小和方向,图象纵轴截距表示初位置的坐标,两个图线的交点表示某时刻相遇位置的坐标(此时速度一般不同)。3.若x-t图象为倾斜直线则表示物体做匀速直线运动,若x-t图象是平行t轴的直线则表示物体静止,若x-t图象为曲线则表示物体做变速直线运动。例1(2018全国卷,18)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是()。A.在t1时刻
2、两车速度相等B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等C.从t1到t2时间内,两车走过的路程相等D.在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等解析根据位移图象的物理意义可知,在t1时刻两车的位置相同,速度不相等,此时乙车的速度大于甲车的速度,A项错误;从0到t1时间内,乙车走过的路程大于甲车走过的路程,B项错误;从t1到t2时间内,两车都是从x1位置走到x2位置,两车走过的路程相等,C项正确;根据位移图象的斜率等于速度可知,在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等,D项正确。答案CD二理解v-t图象1.v-t图象直接描述了物体做直线运动的速度与时间的关系,同时也间接地描述了位移与时间的关系,在时间
3、轴上方的“面积”表示正方向位移,在时间轴下方的“面积”表示负方向的位移。2.v-t图象某点切线的斜率表示加速度的大小和方向,图象纵轴截距表示初速度,两个图线的交点表示速度相同的时刻(一般不是相遇时刻)。3.若v-t图象为倾斜直线则表示物体做匀变速直线运动,若v-t图象为水平直线则表示物体做匀速直线运动,若v-t图象为曲线则表示物体做非匀变速直线运动。例2(多选)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶,驾驶员发现正前方25 m处的斑马线上有行人,于是刹车礼让,汽车恰好在斑马线前停下,假设驾驶员的反应时间为0.5 s,汽车运动的v-t图象如图所示,则汽车的()。A.刹车时间为4 sB.刹车距
4、离为25 mC.加速度大小为2.5 m/s2D.加速度大小为2 m/s2解析设汽车做匀减速直线运动所用的时间为t,根据v-t图象的面积代表物体通过的位移可得25=100.5+1210t,解得t=4s,即刹车的时间为4s,A项正确;则刹车距离x2=10+024m=20m,B项错误;刹车的加速度的大小a=104m/s2=2.5m/s2,C项正确,D项错误。答案AC三比较x-t图象和v-t图象x-t图象v-t图象图象一看坐标轴纵轴表示位移,横轴表示时间。意义:表示做直线运动的物体的位移随时间变化的规律纵轴表示速度,横轴表示时间。意义:表示做直线运动的物体的速度随时间变化的规律二看形状若图象是一条直线
5、,则表示物体做匀速直线运动或静止;若图象是曲线,则表示物体做变速直线运动若图象是一条直线,则表示物体做匀变速直线运动或者匀速直线运动;若图象是曲线,则表示物体做变加速直线运动三看截距图象在纵轴上有截距表示零时刻物体相对于参考点的位移不为零(不是从参考点出发)图象在横轴上有截距表示物体过了一段时间后才从参考点出发图象在纵轴上有截距表示物体运动的初速度为v0图象在横轴上有截距表示物体过了一段时间后才出发四看斜率表示物体运动的快慢,即速度k=x2-x1t2-t1=v表示物体的速度变化快慢,即加速度k=v2-v1t2-t1=a五看交点表示物体在该时刻相遇表示物体的速度在该时刻相等与横轴相交的含义表示物
6、体从参考点(位移零点)的一边运动到另外一边表示物体运动的速度方向反向运动方向斜向上的直线正方向运动斜向下的直线反方向运动平行横轴的直线物体静止t轴上方正方向运动t轴下方反方向运动六看面积面积无意义数值上等于物体在t时间内通过的位移当围成的面积在第象限时,位移为正当围成的面积在第象限时,位移为负若v-t图象跨越、象限,则t轴上、下所围成的面积的代数和在数值上等于物体的位移,而面积的算术和在数值上等于物体的运动路程例3图示的x-t图象和v-t图象中,给出的四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况,关于它们的物理意义,下列描述正确的是()。A.图线1表示物体做曲线运动B.x-t图象中t1时刻
7、物体1的速度大于物体2的速度C.v-t图象中0至t1时间内物体4的平均速度小于物体3的平均速度D.两图象中,t2时刻分别表示物体2、4开始反向运动解析x-t图象和v-t图象都只能描述直线运动,A项错误;x-t图象中,t1时刻图线1切线的斜率大于图线2的斜率,B项正确;v-t图象中,0至t1时间内图线4所围的“面积”大于图线3所围的“面积”,在相同时间内物体4的平均速度大于物体3的平均速度,C项错误;x-t图象中,t2时刻以后图线2的斜率为负,物体2反向运动,v-t图象中,t2时刻以后物体4的速度开始减小,并没有反向运动,D项错误。答案B四匀变速直线运动的非常规图象1.三类非常规图象(1)a-t
8、图象:由v=v0+at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量v,如图甲所示。(2)xt-t图象:由x=v0t+12at2可得xt=v0+12at,图象的斜率为12a,如图乙所示。(3)v2-x图象:由v2-v02=2ax可知v2=v02+2ax,图象斜率为2a。2.解题技巧非常规的图象往往有两类问题:一是给出物体的初始条件和受力情况,要求考生判断或作出图象;二是直接给出某物理量随时间变化的图象,要求据此回答相关问题,其本质是将这些非速度的图象关系转化为速度时间关系,要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系,再进一步解答。有时候还要结合牛顿运动定律和运动学公式进行分析。例4(多选)一个质量m=1
9、 kg的物体在粗糙的水平面上受水平拉力作用沿直线运动,物体与水平面间的动摩擦因数=0.5。从t=0时刻开始,物体的位移x与运动时间t的比值随时间变化的关系如图所示,图线与纵横坐标轴的交点坐标分别为(0,0.5 m/s)和(-1 s,0),g=10 m/s2,物体运动时间为2 s,下列说法正确的是()。A.物体初速度为0.5 m/sB.物体加速度为0.5 m/s2C.物体运动位移为3 mD.物体受到的水平拉力大小为6 N解析图象的斜率k=0.5m/s2,纵截距为0.5m/s。由位移公式x=v0t+12at2两边除以对应运动时间t得xt=v0+12at,可得纵截距的物理意义为物体运动初速度,斜率的
10、物理意义为物体加速度的一半(12a)。所以物体做初速度v0=0.5m/s、加速度大小a=1m/s2的匀加速直线运动,A项正确,B项错误。物体在t=2s时间内的运动位移x=v0t+12at2=3m,C项正确。对物体,应用牛顿第二定律有F-mg=ma,解得F=6N,D项正确。答案ACD(1)首先根据题设所给的运动条件或运动图象,分析判断运动物体在某段时间内的变化规律,难点是判断加速度的变化是恒定的还是变化的,加速度的变化决定了v-t图线斜率的变化趋势,加速度减小,v-t图线的斜率将减小;加速度增大,v-t图线的斜率将增大。(2)判断物体起始时刻的物理状态,即不同图象的起点,例如初始时刻的位置坐标、
11、初始时刻的速度等。(3)根据初始状态及分析出的运动规律或已知图象与所求图象间的关系,判断或作出所求图象。五追及相遇问题追及和相遇问题是一类常见的运动学问题,从时间和空间的角度来讲,相遇是指同一时刻到达同一位置。可见,相遇的物体必然存在以下两个关系:一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发,则相遇时位移相等为空间条件,若甲在乙前方且相距x0,则位移关系为x乙=x甲+x0。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发,则运动时间相等;若甲比乙早出发t,则运动时间关系为t甲=t乙+t。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。从过程来讲,追及必然涉及速度关系
12、,只有后者速度超过前者的时候,两者才能缩短距离,一旦前者速度超过后者的速度,两者间距将拉大。因此,速度相等的时刻是临界时刻。请分析下列各种情况,哪些是必然能追上的?哪些是可能追上的?哪些有可能相遇两次?后者前者追上的可能性匀速直线运动匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动匀加速直线运动匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动匀减速直线运动匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动答案可能追上可能追上(有可能相遇两次)必能追上必能追上可能追上(有可能相遇两次)必能追上可能追上(有可能相遇两次)可能追上(有可能相遇两次)可能追上(有可能相遇两次)例5现有一辆摩托车先由静止开始以2.5 m/s2的加
13、速度做匀加速直线运动,后以最大行驶速度25 m/s匀速行驶,追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开始运动时与卡车的距离为200 m,问:(1)追上卡车前,二者相隔的最大距离是多少?(2)摩托车经过多少时间才能追上卡车?解析(1)由题意得摩托车匀加速运动的时间t1=vma=10s此过程的位移x1=vm22a=125mx0=200m所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车在追上卡车前,当二者速度相等时相距最大,设从开始经过t2时间速度相等,最大间距为xm,则v=at2解得t2=va=6s最大间距xm=(x0+vt2)-12at22=245m。(2)设从开始经过t时间摩托车追上
14、卡车,则有vm22a+vm(t-t1)=x0+vt解得t=32.5s。答案(1)245m(2)32.5s(1)常规解题思路(2)审题时应抓住题设中的关键字眼,充分挖掘题设中的隐含条件,比如“恰好”“最多”“至少”等往往对应着一个临界状态。(3)紧抓“一图三式”,即过程示意图、时间关系式、速度关系式、位移关系式。(4)若被追者在做匀减速直线运动,则一定要注意追上之前它是否已经停止运动;若追赶者做匀减速运动,则有可能相遇两次。六两个物体的运动图象同一个图象中有两个物体的运动图线,一般都涉及追及相遇问题,那么x-t图象中两图线的交点代表什么含义呢?v-t图象中两图线的交点又表示什么含义呢?在v-t图
15、象中某时间内两图线所围的“面积”之差是不是就一定是两运动物体的间距呢?答案x-t图象中两图线的交点代表两物体的位置相同,即相遇;v-t图象中两图线的交点表示两物体运动的瞬时速度相等。如果两物体同地出发,在v-t图象中两图线所围的“面积”之差才是两运动物体的间距;如果不是同地出发,只能代表在这段时间内其中一物体比另一物体多运动的位移。例6一平直公路上有甲、乙两辆车,它们从t=0时刻开始运动,在06 s内速度随时间变化的情况如图所示。已知两车在t=3 s时刻相遇,下列说法正确的是()。A.两车的出发点相同B.t=2 s时刻,两车相距最远C.两车在3 s6 s之间的某时刻再次相遇D.t=0时刻两车之间的距离大于t=6 s时刻两车之间的距离解析由图可得,03s内,乙的位移12(2+0.5)3m=3.75m,甲的位移12(2+4
