《高考数学新设计大一轮复习第三章导数及其表示第2节第2课时利用导数研究函数的极值、最值课件理新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学新设计大一轮复习第三章导数及其表示第2节第2课时利用导数研究函数的极值、最值课件理新人教A版（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时课时 利用导导数研究函数的极值值 最值值 考点一 利用导数解决函数的极值问题 多维探究 角度1 根据函数图象判断函数极值 例1 1 已知函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 A 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 B 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 C 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 D 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 解析 由题图可知 当x0 当 2 x 1时 f x 0 当1 x 2时 f x 2时 f x 0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处
2、取得极小值 答案 D 规律方法 由图象判断函数y f x 的极值 要抓住两点 1 由y f x 的图象与x轴 的交点 可得函数y f x 的可能极值点 2 由导函数y f x 的图象可以看出y f x 的值的正负 从而可得函数y f x 的单调性 两者结合可得极值点 角度2 已知函数求极值 例1 2 2019 哈尔滨模拟 已知函数f x ln x ax a R 2 讨论函数f x 在定义域内极值点的个数 令f x 0 得x 2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 2 2 2 f x 0 f x ln 2 1 故f x 在定义域上的极大值为f x 极大值 f 2 ln 2
3、1 无极小值 当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 即函数在 0 上单调递 增 此时函数在定义域上无极值点 综上可知 当a 0时 函数f x 无极值点 规律方法 运用导数求可导函数y f x 的极值的一般步骤 1 先求函数y f x 的 定义域 再求其导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查导 数f x 在方程根的左 右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 特别注意 导数为零的点不一定是极值点 角度3 已知函数的极 最 值求参数的取值 例1 3 已知函数f x ln x 1 求f x 图象的过点P 0 1 的切线方程
4、 把点P 0 1 代入切线方程 得ln x0 0 x0 1 过点P 0 1 的切线方程为y x 1 令h x mx2 x m 要使g x 存在两个极值点x1 x2 则方程mx2 x m 0有两个不相等的正数根x1 x2 规律方法 已知函数极值 确定函数解析式中的参数时 要注意 1 根据极值点 的导数为0和极值这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等 于0不是此点为极值点的充要条件 所以用待定系数法求解后必须检验 训练1 1 2017 全国 卷 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 A 1 B 2e 3 C 5e 3 D 1 解析 f x
5、x2 a 2 x a 1 ex 1 则f 2 4 2 a 2 a 1 e 3 0 a 1 则f x x2 x 1 ex 1 f x x2 x 2 ex 1 令f x 0 得x 2或x 1 当x1时 f x 0 当 2 x 1时 f x 0 所以f x 在x 2处取得极小值 所以f x 0 所以2不是f x 的极小值点 考点二 利用导数求函数的最值 例2 2019 广东五校联考 已知函数f x ax ln x 其中a为常数 1 当a 1时 求f x 的最大值 2 若f x 在区间 0 e 上的最大值为 3 求a的值 解 1 易知f x 的定义域为 0 令f x 0 得x 1 当0 x0 当x 1
6、时 f x 0 求当下潜速度v取什么值时 总用氧量最少 当v c时 这时总 用氧量最少 规律方法 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 设自变量 因变量 建立函数关系式y f x 并确定其定义域 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题 作答 2 如果目标函数在定义域内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值 点 训练3 2017 全国 卷 如图 圆形纸片的圆心为O 半 径为5 cm 该纸片上的等边三角形ABC的中心为O D E F为圆O上的点 DBC ECA FAB分别是以BC
7、 CA AB为底边的等腰三角形 沿虚线剪开后 分别以BC CA AB为折痕折起 DBC ECA FAB 使得D E F重合 得到三棱锥 当 ABC的边长变 化时 所得三棱 锥体积 单位 cm3 的最大值为 则f x 100 x3 50 x4 令f x 0得x 2 当x 0 2 时 f x 0 f x 单调递 增 故当x 2时 f x 取得最大值80 思维升华 1 求函数的极值 最值 通常转化为对函数的单调性的分析讨论 所以 研究函数 的单调性 极值 最值归根结底都是对函数单调性的研究 2 研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决 函数的单调性常借助导函 数的图象分析导数的正负 函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零 点 函数的最值常借助原函数图象来分析最值点 3 解函数的优化问题关键是从实际问题 中抽象出函数关系 并求出函数的最值 易错防范 1 求函数的极值 函数的优化问题易忽视函数的定义域 2 已知极值点求参数时 由极值点处导数为0求出参数后 易忽视对极值点两侧导数 异号的检验 3 由极值 最值求参数时 易忽视参数应满足的前提范围 如定义域 导致出现了增 解
