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1、课下层级训练(四十五)椭圆的概念及其性质A级基础强化训练1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为() A1By21C1D1A由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1.2(2018广东惠州调研)“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C把椭圆方程化成1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0即有mn0.故为充要条件3设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上
2、一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A4B3C2D5A由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2B3C6D8C由题意知，O(0,0)，F(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2y2x.又1，y23x2，x2x3(x2)22.2x2，当x2时，有最大值6.5已知椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点若四
3、边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()ABCDA圆O与直线BF相切，圆O的半径为，即|OC|，四边形FAMN是平行四边形，点M的坐标为，代入椭圆方程得1，5e22e30，又0eb0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为_(5,0)圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3,0)，c3.又b4，a5.椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5,0)7已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为_7由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的
4、最小值为|PF1|PF2|127.8已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(3,0)(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意得因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为1(2)易知|yP|4，又c3，所以SF1PF2|yP|2c46129已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解椭圆方程可化为1，m0m0，m，a2m，b2，c 由e，得 ，m1椭圆的标准方程为x21，a1，b，c椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为F1，F2，四
5、个顶点的坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2B级能力提升训练10如图，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若 |PF1|4，F1PF2120，则a的值为()A2B3C4D5Bb22，c，故|F1F2|2，又|PF1|4，|PF1|PF2|2a，|PF2|2a4，由余弦定理得cos 120，化简得8a24，即a3.11(2019山东临沂月考)过椭圆1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A14B16C18D20C如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|PF2|，|OP|OQ|，所以PQF
6、1的周长为|PF1|F1Q|PQ|PF1|PF2|2|PO|2a2|PO|102|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，PQF1即PQF的周长取得最小值为102418.12(2019河北石家庄质检)椭圆y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)F1PF2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2.解得xb0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若k，则椭圆的离心率的
7、取值范围是_. 如图所示，|AF2|ac，|BF2|，ktanBAF21e又k，1e，解得eb0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)(1)当pq0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D(b1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，()的最小值为，求椭圆的方程解(1)设椭圆半焦距为C由题意AF，AB的中垂线方程分别为x，y(x)，于是圆心坐标为(，)所以pq0，整理得abbcb2ac0，即(ab)(bc)0，所以bc，于是b2c2，即a2b2c22c2所以e2，即e1(2)当e时，abc，此时椭圆的方程为1，设M(x，y)，则cxc，所以()x2xc2(x1)2c2当c时，上式的最小值为c2，即c2，得c2；当0c时，上式的最小值为(c)2cc2，即(c)2cc2，解得c，不合题意，舍去综上所述，椭圆的方程为18
