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1、课下层级训练(四十九)范围与最值问题A级基础强化训练1(2018甘肃天水二模)已知椭圆E：1(ab0)经过点P，椭圆的一个焦点为(，0)(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过点M(0，)且与椭圆E交于A，B两点求|AB|的最大值解(1)依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)则|PF1|PF2|42a，a2，c，b21，椭圆E的方程为y21(2)当直线l的斜率存在时，设l：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kx40由0得4k21由x1x2，x1x2得|AB|2 设t，则0t|AB|22当直线l的斜率不存在时，|AB|2，|AB|的最大值2(20
2、18四川内江模拟)已知椭圆C：1(ab0)过点(，1)，且焦距为2(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：yk(x1)(k2)与椭圆C相交于不同的两点A、B，线段AB的中点M到直线2xyt0的距离为，求t(t2)的取值范围解(1)由2c2，c，则a2b22，将点(，1)代入椭圆方程1，解得a24，b22，椭圆的标准方程1(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，整理得(2k21)x24k2x2k240，则x1x2，则x0，y0k(x01)，由M到直线2xyt0的距离，即，则|t2|3，由k2及t2，则t55，由6，5t5，即4t5，t(t2)的取值范围3(2019广西南宁模拟)
3、已知点P(0，2)，点A，B分别为椭圆E：1(ab0)的左右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且(1)求E的方程；(2)设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围解(1)由题意ABP是等腰直角三角形，a2，B(2,0)，设Q(x0，y0)，由，则代入椭圆方程，解得b21，椭圆方程为y21(2)由题意可知，直线l的斜率存在，方程为ykx2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则整理得(14k2)x216kx120，由直线l与E有两个不同的交点，则0，即(16k)2412(14k2)0，解得k2，由韦达定理可知x1x2，x1x
4、2，由坐标原点O位于MN为直径的圆外，则0，即x1x2y1y20，则x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，解得k24，综上可知k24，解得k2或2k，直线l斜率的取值范围B级能力提升训练4已知椭圆的焦点坐标是F1(1,0)，F2(1,0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|3(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则F1MN的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆的方程是1(ab0)，由交点的坐标得c1，由|PQ|3，可
5、得3，解得a2，b，故椭圆的方程是1(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y10，y20，设F1MN的内切圆半径是R，则F1MN的周长是4a8，SF1MN最大，R就最大，SF1MN|F1F2|y1y2|y1y2，由题知，直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为xmy1，由得(3m24)y26my90，解得y1，y2，则SF1MN，令t，则t1，则SF1MN，令f(t)3t，f(t)3，当t1时，f(t)0，f(t)在1，)上单调递增，有f(t)f(1)4，SF1MN3，即当t1，m0时，SF1MN3，SF1MN4R，所以Rmax，此时所求内切圆面积的最大值是，故直线l：x1，F1MN
6、内切圆的面积最大值是5(2019辽宁沈阳检测)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围解(1)由题意得c3，根据2a2c16，得a5结合a2b2c2，解得a225，b216所以椭圆的方程为1(2)法一：由得x2a2b20设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，由AB，F1F2互相平分且共
7、圆，易知，AF2BF2，因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2x1x290即x1x28，所以有8，结合b29a2，解得a212(a26舍去)，所以离心率e.(若设A(x1，y1)，B(x1，y1)相应给分)法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以xy9，又由椭圆及直线方程综合可得：由前两个方程解得x8，y1，将其代入第三个方程并结合b2a2c2a29，解得a212，故e(3)由(2)的结论知，椭圆方程为1，由题可设A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2，又，即k2，由2k11可知，k2即直线PB的斜率k2的取值范围是
