《高中数学第二章数列2.2.1等差数列（第1课时）等差数列的概念及通项公式学案（含解析）新人教B版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章数列2.2.1等差数列（第1课时）等差数列的概念及通项公式学案（含解析）新人教B版必修5（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零知识点二等差中项的概念如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4).知识点三等差数列
2、的通项公式若一个等差数列an，首项是a1，公差为d，则ana1(n1)d.此公式可用叠加法证明1数列4,4,4，是等差数列()2数列3,2,1是等差数列()3数列an的通项公式为an则an是等差数列()4等差数列an中，a1，n，d，an任给三个，可求其余()题型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，2n11，；(2)1,11,23,35，12n13，；(3)1,2,1,2，；(4)1,2,4,6,8,10，；(5)a，a，a，a，a，.解由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列反思感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项
3、起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an1an(n1，nN)是不是一个与n无关的常数跟踪训练1数列an的通项公式an2n5(nN)，则此数列()A是公差为2的等差数列B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列D是公差为n的等差数列答案A解析an1an2(n1)5(2n5)2，an是公差为2的等差数列题型二等差中项例2在1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列解1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1
4、,3,5,7.反思感悟在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN)，即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项解由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得3m3n18，即mn6.所以m和n的等差中项为3.题型三等差数列通项公式的求法及应用例3在等差数列an中，(1)若a515，a1739，试判断91是否为此数列中的项(2)若a211，a85，求a10.解(1)因为解得所以an72(n1)2n5.令2n591
5、，得n43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项(2)设an的公差为d，则解得an12(n1)(1)13n，所以a1013103.反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想等差数列an中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，的第20项；(2)判断401是不是等差数列5，9，13，的项，如果是，是第几项？解(1)由a18，a25，得da2a1583，由n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an5(n1)(4)4n1.由题意，
6、令4014n1，得n100，即401是这个数列的第100项等差数列的判定与证明典例1已知数列an满足an13an3n，且a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由an13an3n，两边同时除以3n1，得，即.由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)，故ann3n-1，nN.典例2已知数列an：a1a21，anan12(n3)(1)判断数列an是否为等差数列？说明理由；(2)求an的通项公式解(1)当n3时，anan12，即anan12，而a2a10不满足anan12(n3)，an不是等差数列(2)当n2时，an是等差数列，公
7、差为2.当n2时，an12(n2)2n3，又a11不适合上式，an的通项公式为an素养评析(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明anan1d(n2，d为常数)或an1and(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1下列数列不是等差数列的是()A1,1,1,1,1B4,7,10,13,16C.，1，D3，2，1,1,2答案D2已知等差数列an的通项公式an32n(nN)，则它的公差d为()A2B3C2D3答案C解析由等差数列的
8、定义，得da2a1112.3已知在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于()A30B60C90D120答案B解析因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有AC2B，又因为ABC180，所以3B180，从而B60.4若数列an满足3an13an1，则数列an是()A公差为1的等差数列B公差为的等差数列C公差为的等差数列D不是等差数列答案B解析由3an13an1，得3an13an1，即an1an.所以数列an是公差为的等差数列5已知等差数列1，1，3，5，89，则它的项数是()A92B47C46D45答案C解析d112，设89为第n项，则89a1(n1)d1(n1)(2)
9、，n46.1判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)2an1anan2(nN)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1设数列an(nN)是公差为d的等差数列，若a24，a46，则d等于()A4B3C2D1答案D解析a4a22d642.d1.2已知等差数列5，2,1，则该数列
10、的第20项为()A52B62C62D52答案A解析公差d2(5)3，a20a1(201)d519352.3在数列an中，a12,2an12an1，则a101的值为()A52B51C50D49答案A解析因为2an12an1，a12，所以数列an是首项a12，公差d的等差数列，所以a101a1100d210052.4若5，x，y，z，21成等差数列，则xyz的值为()A26B29C39D52答案C解析5，x，y，z，21成等差数列，y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项5212y，y13，xz2y26，xyz39.5已知在等差数列an中，a3a822，a67，则a5等于()A15B22C7D
11、29答案A解析设an的首项为a1，公差为d，根据题意得解得a147，d8.所以a547(51)(8)15.6等差数列20,17,14,11，中第一个负数项是()A第7项B第8项C第9项D第10项答案B解析a120，d3，an20(n1)(3)233n，a720，a810.故数列中第一个负数项是第8项7一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于()A.B.C.D.答案C解析b是x,2x的等差中项，b，又x是a，b的等差中项，2xab，a，.8在数列an中，a22，a60，且数列是等差数列，则a4等于()A.B.C.D.答案A解析由题意可得，解得a4，故选A.二、填空题9若一个等差数列的前三项
12、为a,2a1,3a，则这个数列的通项公式为_答案an1，nN解析a(3a)2(2a1)，a.这个等差数列的前三项依次为，d，an(n1)1，nN.10现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升答案解析设此等差数列为an，公差为d，则解得a5a14d4.11首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是_答案解析设an24(n1)d，则解得d3.三、解答题12已知an为等差数列，且a36，a60，求an的通项公式解设数列an的公差为d，由已知得解得所以数列an的通项公式为ana1(n1)d10(n1)22n12.13已知数列an满足an1，且a13(nN)(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由，得，nN，故数列是等差数列(2)解由(1)知(n1)，所以an，nN.14已知数列an中，a11，an1ananan1(n2，nN)，则a10_.答案解析易知an0，数列an满足an1ananan1(n2，nN
