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1、平面向量本章主要包含三个方面的内容:1向量的概念;2向量的运算;3向量的运用向量的概念主要包含表示法、共线向量的充要条件和平面向量的基本定理。向量的运算主要是向量的加减法、实数与向量的积及向量的数量积。向量的运用的话主要是线段的定比分点、平移化简函数式、正弦余弦定理的运用及向量在物理和几何学中的运用。1向量的基本概念定义(二要素)、向量的模;零向量:向量的模为0;单位向量:向量的模为单位1;平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量;我们规定与任一向量平行.向量、平行,记作.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.相等向量:方向、大小都相等的向量;相反向量:方向相反、大小相等的向量;2
2、.向量的表示方法:用有向线段表示;用字母、等表示;平面向量的坐标表示:分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得,叫做向量的(直角)坐标,记作,其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标, 特别地,。;若,则,3向量的运算3.1向量的加法与减法向量加法的三角形法则和平行四边形法则 += + ; -= + (-);3.2平面向量的坐标运算:若,则,。3.3向量加法的交换律:+=+;向量加法的结合律:(+) +=+ (+)4实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作:(1)|=|;(2)0时与方向相同;0时与方向相反;=0时=;(3
3、)运算定律 ()=(),(+)=+,(+)=+5 向量共线定理 向量与非零向量共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一个非零实数,使=。6平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1,2使=1+2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一. 1,2是被,唯一确定的数量。7. 向量和的数量积:=| |cos,其中0,为和的夹角。|cos称为在的方向上的投影。的几何意义是:的长度|在的方向上的投影的乘积,是一个
4、实数(可正、可负、也可是零),而不是向量。若 =(,), =(x2,), 则运算律:a b=ba, (a) b=a(b)=(ab), (a+b)c=ac+bc。和的夹角公式:cos=|2=x2+y2,或|=|ab| a |b |。8两向量平行、垂直的充要条件 设 =(,), =(,)abab=0 ,=+=0;()充要条件是:有且只有一个非零实数,使=。向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆。9.点P分有向线段所成的比的: ,P内分线段时, ; P外分线段时, . 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式: 、 例题讲解1关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:若abac,则
5、bc.若a(1,k),b(2,6),ab,则k3.非零向量a和b满足|a|b|ab|,则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)2设向量a与b的夹角为,a(2,1),a3b(5,4),则sin_.3设P、Q为ABC内的两点,且,则ABP的面积与ABQ的面积之比为_4已知a(cos2,sin),b(1,2sin1),(,),ab,求cos()的值5已知向量a(sinx,1),b(cosx,)(1)当ab时,求cos2x3sin2x的值;(2)求f(x)(ab)b的最小正周期和单调递增区间6已知向量a(sin,1),b(1,cos),0.(1)若ab,求;(2)求|ab|
6、的最大值7若a,b是两个不共线的非零向量,tR.(1)若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,(ab)三向量的终点在一直线上?(2)若|a|b|,且a与b夹角为60,t为何值时,|atb|的值最小?高考典型例题例1、(2007上海)直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中,若,则的可能值个数是( )1 2 3 4例2、(2007陕西)如图,平面内有三个向量、,其中与与的夹角为120,与的夹角为30,且|1,| ,若+(,R),则+的值为 .例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=( )A.(15,12)B.0 C.3
7、 D.11例4、(2008广东文)已知平面向量,且,则=( ) A(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10)例5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量=(1,3),=(4,2),与垂直,则是( )A. 1 B. 1C. 2D. 2例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F. 若, ,则( ) AB. C. D. 例7、(2008江苏)已知向量和的夹角为,则例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与( )A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直例9、(2008深圳福田等)已知向量 ,函数(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值例10、(2007山东文)在中,角的对边分别为(1)求;(2)若,且,求例11、(2008广东六校联考)已知向量(cosx,sinx),(),且x0,(1)求(2)设函数+,求函数的最值及相应的的值。OxACBa例12图yACBaQP例12、如图在RtABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以A为中点,问与的夹角取何值时, 的值最大?并求出这个最大值。