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1、平面向量本章主要包含三个方面的内容:1向量的概念;2向量的运算;3向量的运用向量的概念主要包含表示法、共线向量的充要条件和平面向量的基本定理。向量的运算主要是向量的加减法、实数与向量的积及向量的数量积。向量的运用的话主要是线段的定比分点、平移化简函数式、正弦余弦定理的运用及向量在物理和几何学中的运用。1向量的基本概念定义（二要素）、向量的模；零向量：向量的模为0；单位向量：向量的模为单位1；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行.向量、平行，记作.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.相等向量：方向、大小都相等的向量；相反向量：方向相反、大小相等的向量；2
2、.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、等表示；平面向量的坐标表示：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，。；若，则，3向量的运算3.1向量的加法与减法向量加法的三角形法则和平行四边形法则 += + ； -= + (-)；3.2平面向量的坐标运算：若，则，。3.3向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向相同；0时与方向相反；=0时=；（3
3、）运算定律 ()=()，(+)=+，(+)=+5 向量共线定理 向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=。6平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量。7. 向量和的数量积：=| |cos，其中0，为和的夹角。|cos称为在的方向上的投影。的几何意义是：的长度|在的方向上的投影的乘积，是一个
4、实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。若 =（，）, =（x2，）, 则运算律：a b=ba, (a) b=a(b)=（ab）， （a+b）c=ac+bc。和的夹角公式：cos=|2=x2+y2，或|=|ab| a |b |。8两向量平行、垂直的充要条件 设 =（，）, =（，）abab=0 ，=+=0；（）充要条件是：有且只有一个非零实数，使=。向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。9.点P分有向线段所成的比的： ，P内分线段时, ; P外分线段时, . 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式： 、 例题讲解1关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则
5、bc.若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3.非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)2设向量a与b的夹角为，a(2,1)，a3b(5,4)，则sin_.3设P、Q为ABC内的两点，且，则ABP的面积与ABQ的面积之比为_4已知a(cos2，sin)，b(1,2sin1)，(，)，ab，求cos()的值5已知向量a(sinx，1)，b(cosx，)(1)当ab时，求cos2x3sin2x的值；(2)求f(x)(ab)b的最小正周期和单调递增区间6已知向量a(sin，1)，b(1，cos),0.(1)若ab，求；(2)求|ab|
6、的最大值7若a，b是两个不共线的非零向量，tR.(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在一直线上？(2)若|a|b|，且a与b夹角为60，t为何值时，|atb|的值最小？高考典型例题例1、（2007上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，则的可能值个数是（ ）1 2 3 4例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量、,其中与与的夹角为120，与的夹角为30,且|1，| ，若+（，R）,则+的值为 .例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=（ ）A.(15,12)B.0 C.3
7、 D.11例4、(2008广东文)已知平面向量，且，则=（ ） A（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量=（1，3），=（4，2），与垂直，则是（ ）A. 1 B. 1C. 2D. 2例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若, ,则（ ） AB. C. D. 例7、（2008江苏）已知向量和的夹角为，则例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( )A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直例9、（2008深圳福田等）已知向量 ,函数(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值例10、（2007山东文）在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求例11、（2008广东六校联考）已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。OxACBa例12图yACBaQP例12、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值。
