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1、高等数学（90）（下）期中试卷全校理工科 一 二 三 四 五 一、 填空题(每小题3分，共27分) 1、的定义域为 ； 考点：自然定义域（注意：根式函数的定义域、对数函数的定义域）2、平行于向量=的单位向量是； 考点：单位向量（注意：方向相同与相反的区别）3、点到平面的距离为； 考点：点到平面的距离公式4、过点且垂直于向量的平面方程为； 考点：平面方程（注意：点法式方程）5、 函数在点(1,1)处沿梯度方向的方向导数为； 考点：方向导数（注意：书上的重要结论函数在某点处沿梯度方向的方向导数即为在该点梯度的模）6、 交换积分次序：=； 考点：交换积分次序（注意：将型区域转化为型区域）7、，则I在
2、球坐标系下的三次积分为；考点：球面坐标系8、椭球面在点处的切平面方程是；考点：空间曲面的切平面方程（注意：空间曲面在某点处的切向量公式）9、曲线在面上的投影曲线的方程为。 考点：空间曲线在坐标面上的投影二、计算题（每小题6分，共48分）1、具有二阶连续的偏导数，求。解：(1) ；(2) 。考点：多元抽象函数的高阶导数 （注意：符号的涵义）2、求函数的一阶偏导数。解：原函数变形为，则， ， 。考点：多元函数的一阶导数（注意：先应用自然对数的性质变形）3、从点作直线的垂线，求垂线的方程。解：(1)由条件可得，已知直线的方向向量， (2)过点垂直于已知直线的平面方程为，即， (3)取已知直线过定点，
3、则该直线的对称式方程为，从而其参数式方程为(4)将直线的参数式方程代入平面方程得：，解得，从而已知直线与垂面的交点为， (5)所求的垂线的方向向量，因此所求的垂线方程为。考点：过已知点求某直线的垂线（注意：先求过已知点求某直线的垂面方程，然后求垂足，最后利用点向式方程求垂线方程）4、在曲线上求出一点，使过该点的切线平行于平面。解：(1)取已知曲线上的点对应于满足题意，则在该点上曲线的切向量为(2)已知平面的法向量为则由题意得，从而， 即，解得或， 故所求的点为和。考点：空间曲线在已知点的切线（注意：空间曲线在已知点的切向量公式）5、过点且通过直线的平面方程。解：(1)由条件得已知直线过定点，其
4、方向向量为，(2) 点和点确定的向量为， 则所求平面的法向量为， 从而所求的平面方程为，即。考点：经过已知点和已知直线的平面（注意：用向量积求所求平面的法向量）6、已知，求。解：对原方程组两边分别关于求导得 解之即得，。考点：一元隐函数组的求导（注意：自变量与函数值的区分）7、 解：设， 其中， 则原式。考点：二重积分（注意：区域的可加性和二次积分的应用）8、计算积分解：设 其中 则。考点：三重积分（注意：柱面坐标系的应用）三、计算由曲线直线 及围成的区域。（6分）解：设，其中,，则，又 ，故。考点：二重积分（注意：区域的可加性和极坐标系的应用）四、求，这里由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体。（7分）解：由条件得，其中，则 原式 。考点：三重积分（注意：旋转曲面、极坐标系的应用）在计算时x2+y2/=2z !五、计算，这里与平面所围立体。（6分）解：由条件得，其中，则原式。考点：三重积分（注意：极坐标系的应用）六、求曲面（6分）解：欲求已知曲面的最高点与最低点，需求的最大值与最小值即可。对原方程两边分别关于和求导得解方程组 可得，将之代入原方程得，即，因为原曲面必存在最高点与最低点，故其最高点的坐标为，最低点的坐标为。考点：函数的极值与最值（注意：问题的转化）
