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1、 高三数学寒假作业3 2012.1.17 班级_学号_姓名_一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分Yi i +1输出 i开始s s + is 20 s0i0结束N(第8题图)1集合，若，则实数的值为 9. 已知角的终边经过点，且，则的值为 10. 经过点，且与直线垂直的直线方程是 4 若复数（为虚数单位），且为纯虚数，则实数的值为 5 已知实数满足约束条件 则00240012000800040002频率/组距o 20 40 60 80 100 分数分(第9题图)的最大值为 6某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 7设等
2、差数列的公差，若是与的等比中项，则的值为 7 根据如图所示的算法流程，可知输出的结果为 9下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(第11题图)（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为 10设是单位向量，且，则的值为 11如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高位5，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 12若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 13五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为 14设是由满足下列性质的函数构
3、成的集合：在定义域内存在，使得成立已知下列函数：；，其中属于集合的函数是 （写出所有满足要求的函数的序号） 二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 已知，()若，求的值；()若，求的值 16 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形， 为上一点，且平面 ()求证：；()如果点为线段的中点，求证：平面 17 如图，矩形是机器人踢足球的场地，机器人先从的中点进入场地到点处，场地内有一小球从点沿运动，机器人从点出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处
4、截住小球？18 已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2 ()求椭圆的方程；()设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，求面积的最大值 19 已知函数在点处的切线方程为()求函数的解析式；()若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；()若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围 20 设函数，数列满足()求数列的通项公式；()设，若对恒成立，求实数的取值范围；()是否存在以为首项，公比为的数列，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由 高三数学寒假作业3 2012.1.1
5、7 (参考答案)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1 210 3 4 58 6 7387 972 10 1113 12 134 14二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）已知，()若，求的值；()若，求的值解：()因为，所以3分则5分()因为，所以，7分即9分因为，所以，则11分14分16（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形， 为上一点，且平面 ()求证：；()如果点为线段的中点，求证：平面 证明：()因为平面，平面，所以2分因为，且，平面
6、，所以平面4分因为平面，所以6分()取中点，连结因为平面，平面，所以因为，所以为的中点8分所以为的中位线所以，且=10分因为四边形为平行四边形，所以，且故，且因为为中点，所以，且所以四边形为平行四边形，所以12分因为平面，平面，所以平面14分17（本题满分14分） 如图，矩形是机器人踢足球的场地，机器人先从的中点进入场地到点处，场地内有一小球从点沿运动，机器人从点出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？ 解：设该机器人最快可在点处截住小球 ，点在线段上设根据题意，得 则1分
7、连接，在中，所以， 2分于是在中，由余弦定理，得所以8分解得12分所以，或（不合题意，舍去）13分答：该机器人最快可在线段上离点70处截住小球14分 18（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分） 已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2 ()求椭圆的方程；()设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，求面积的最大值 解：()因为，且，所以2分所以4分所以椭圆的方程为6分()设点的坐标为，则因为，所以直线的方程为8分由于圆与由公共点，所以到 的距离小于或等于圆的半径因为，所以，10分即 又因为，所以12分解得14分当时，所以 16分1
8、9（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分） 已知函数在点处的切线方程为()求函数的解析式；()若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；()若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围 解：()2分根据题意，得即解得3分所以4分()令，即得12+增极大值减极小值增2因为，所以当时，6分则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为48分()因为点不在曲线上，所以可设切点为则因为，所以切线的斜率为9分则=，11分即因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点则令，则或02+增极大值减极小值增则 ，即，解得16分20（本题满
9、分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分） 设函数，数列满足()求数列的通项公式；()设，若对恒成立，求实数的取值范围；()是否存在以为首项，公比为的数列，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由解：()因为，所以2分 因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列所以4分() 当时， 6分当时， 8分所以要使对恒成立，只要使只要使，故实数的取值范围为10分()由，知数列中每一项都不可能是偶数 如存在以为首项，公比为2或4的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列12分 当时，显然不存在这样的数列 当时，若存在以为首项，公比为3的数列， 则， 所以满足条件的数列的通项公式为16分
