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1、专题39直角三角形与勾股定理一、选择题1. 在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【 】ABCD2. 如图，在RtABC中，ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【 】A20 B10 C5 D 3. 勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】A90B100C110D121【答案】C。【考
2、点】勾股定理的证明。【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为1011=110。故选C。4. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是【 】 A45o B60o C75o D90o【答案】 C。【考点】三角形的外角性质，直角三角形的性质。【分析】如图，1=90-60=30，=45+30=75。故选C。5. （2012四川绵阳3分）已知ABC中，C=90，tanA=，D是AC上一点，CBD=A，则sinABD=【 】。A B C D
3、【答案】A。【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义。【分析】如图，作DEAB于点E。CBD=A，。设CD=a，则BC=2a，AC=4a，AD=AC-CD=3a，在RtBCD中，。在RtABC中，。在RtADE中，设DE=x，则AE=2x，AE2+DE2=AD2，即x2+（2x）2=9a2，解得：x= ，即DE=。在RtBDE中，。故选A。6. （2012辽宁本溪3分）如图 在直角ABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则ACE的周长为【 】A、16 B、15 C、14 D、13【答案】A。【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理。【
4、分析】连接AE，在RtABC中，BAC=90，AB=8，AC=6，。DE是AB边的垂直平分线，AE=BE。ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16。故选A。7. （2012辽宁营口3分）在RtABC中，若C=，BC=6，AC=8，则A的值为【 】(A)(B) (C)(D)【答案】C。【考点】勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】在RtABC中，C=，BC=6，AC=8， 根据勾股定理，得AB=10。A。故选C。8. （2012贵州贵阳3分）如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若F=30，DE=1，则EF的长是【 】A
5、3 B2 C D1【答案】B。【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定。【分析】连接AF，DF是AB的垂直平分线，AF=BF。FDAB，AFD=BFD=30，B=FAB=9030=60。ACB=90，BAC=30，FAC=6030=30。DE=1，AE=2DE=2。FAE=AFD=30，EF=AE=2。故选B。9. （2012贵州毕节3分）如图.在RtABC中，A=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是【 】 A.2 B.2 C.4 D.4【答案】A。【考点】线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性
6、质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。【分析】A=30，B=90，ACB=1803090=60。DE垂直平分斜边AC，AD=CD。A=ACD=30。DCB=6030=30。BD=1，CD=2=AD。AB=1+2=3。在BCD中，由勾股定理得：CB=。在ABC中，由勾股定理得：。故选A。10. （2012广西河池3分）如图，在ABC中，B=300，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=5，则CE的长为【 】A10B8 C5D2.5【答案】A。【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出B
7、E的长，即可求出CE长：DE是线段BC的垂直平分线，BE=CE，BDE=90。B=30，BE=2DE=25=10。CE=BE=10。故选A。11. （2012广西来宾3分）已知三组数据：2，3，4；3，4，5；1，2分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】A B C D【答案】D。【考点】勾股定理的逆定理。【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形，因此，对各选项逐一计算即可判断： 22+32=1342，以2，3，4为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；32+42=52 ，以3，4，5为长度的线段能构成直角三角形，故符合题
8、意；12+（）2=22，以1，2为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意。故构成直角三角形的有。故选D。12. （2012吉林长春3分）如图，在RtABC中，C=90D为边CA延长线上的一点，DEAB，ADE=42，则B的大小为【 】(A) 42 (B) 45 (C) 48 (D)58【答案】C。【考点】平行线的性质，直角三角形两锐角的关系【分析】DEAB，ADE=42，CAB=ADE=42。在RtABC中，C=90，B=90CAB=9042=48。故选C。二、填空题1. （2012四川资阳3分）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 【答案】8或10。【考点】三角形的外
9、接圆与外心，勾股定理。【分析】由勾股定理可知：当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= ，因此这个三角形的外接圆半径为10。综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10。2. （2012四川南充3分）如图，四边形ABCD中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 cm. 【答案】4。【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。【分析】如图，将ADC旋转至ABE处，则AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为24cm2，,这时三角形AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF
10、，则AF=EC=FC, SAEC= AFEC=AF2=24 。AF2=24。AC2=2AF2=48 AC=4。3. （2012山东烟台3分）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M如果ADF=100，那么BMD为 度【答案】85。【考点】三角形内角和定理。【分析】先根据ADF=100求出MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出BMD的度数即可：ADF=100，EDF=30，MDB=180ADFEDF=18010030=50。BMD=180BMDB=1804550=85。4. （2012山东枣庄4分）如图所示，DE为ABC的中位线，点F在
11、DE上，且AFB90，若AB5，BC8，则EF的长为 _【答案】。【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】由于DE为ABC的中位线，BC8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得DE4；又由于AFB90，点D为AB的中点，AB5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得DF。因此EFDEDF4。5. （2012广西柳州3分）一个圆锥形的漏斗，小李用三角板测得其高度的尺寸如图所示，那么漏斗的斜壁AB的长度为 cm【答案】5。【考点】勾股定理。【分析】因为圆锥的底面半径、高及圆锥的母线构成直角三角形，所以根据题意知：圆锥的底面半径为3cm，高
12、为4cm，故圆锥的母线长（cm）。6. （2012河北省3分）如图，AB、CD相交于点O，ACCD于点C，若BOD=38，则A= 。【答案】520。【考点】对顶角的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】BOD与AOC是对顶角，AOC=，BOD=38。又在RtACO中，两锐角互余，。7. （2012新疆区5分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2=2，则S3是 【答案】。【考点】勾股定理。【分析】如图，由圆的面积公式得， 解得，。 根据勾股定理，得。 。8. （2012甘肃白银4分）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到A
13、BC，则ABC中BC边上的高是 【答案】。【考点】网格问题，勾股定理，割补法求面积。【分析】求出ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高： 如图，根据正方形的性质，知面积=面积，面积=面积，从而得ABC的面积为一个半正方形的面积。由勾股定理可得BC=，BC边上的高是。9. （2012吉林省3分）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD= _ _.【答案】2。【考点】勾股定理，圆的性质。【分析】在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=。以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，AD=AC=3。BD=ABAD=53=2。10. （2012青海省2分）如图，直线l1l2且l1，l2被直线l3所截，1=2=35，P=90，则3=
