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1、江苏省2010届高三二轮强化训练导数应用（一）一、填空题：1当h无限趋近于0时，无限趋近于 2若函数的增区间为（0，1），则的值是 3曲线在点（）处的切线方程为 4函数y=x3-3x+1在闭区间-3 0上的最大值与最小值分别为_ 5函数的单调递增区间为_6当时， 恒成立，则实数m的取值范围是_7设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0)围成的封闭图形的面积为S(t)，则 11设a、b为实数且b-a=2，若多项式函数在区间（a, b）上的导函数满足，则与的大小关系是_ 12母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于_ 13圆形水波的半径50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的
2、膨胀率为 14已知数列an满足2an+1= -an3+3an且，则an的取值范围为_二、解答题15已知函数，是否存在整数m，使得函数f(x)与g(x)图像在区间(m,m+1)内有且仅有两个公共点，若有，求出m的值，若没有，请说明理由16用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点F的光源所射出的光线FP经抛物线上任一点反射后（该点处的切线反射）反射光线PM与抛物线对称轴平行17如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率 18（07连云港三模）函数f(x)=x3-3tx+m(m,t为实常数)是偶函数，且g(x)= （1）求
3、实数m的值并比较f()与f(2)( t0)的大小；（2）求函数y=f(x)在区间-2,2上的最大值F(t)19烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱A,B相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量A的8倍，该乡要在两座烟囱连线上一点C处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低20设f(x)=x(x-p)(x-q) (pq0)且函数f(x)在x=a和x=b (ab)处取得极值（1）求证:paqb；（2）若p+q2_7设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0)围成的封闭图形的面积为S
4、(t)，则= ；11设a、b为实数且b-a=2，若多项式函数在区间（a, b）上的导函数满足，则与的大小关系是12母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于13圆形水波的半径50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率为 14已知数列an满足2an+1= -an3+3an且，则an的取值范围为 (0,1)二、解答题：yxO15.已知函数，是否存在整数m，使得函数f(x)与g(x)图像在区间(m,m+1)内有且仅有两个公共点，若有，求出m的值，若没有，请说明理由.变式题:已知函数f(x)=x3 +bx2+3cx+8和g(x)=x3+bx2+cx(其中- b0)， F(x)=f(
5、x)+5g(x), (1)=(m)=0.（1）求m的取值范围；（2）方程F(x)=0有几个实根？为什么？点拨：两曲线的公共点一般转化为方程的根问题，根据方程特点，利用三次函数的单调性，极值（最值）及图像特征是解决问题的突破点.解：函数f(x)与g(x)公共点的横坐标即是方程的解, 也就是方程的根. 记h(x)= ，则 令得，由单调性易知，h(0)和分别是极大值和极小值.0（如图）,由图形知有三个零点,且又h(3)=1,h(4)=5,故,即故可取m=3.又区间(m,m+1)长度为1，故m不可能有其他值.综合知，存在整数m=3满足题意.变式点拔：（1），由题设易得，消去c得，故，再由-b0可解得m
6、的取值范围是.（2）方程F(x)=0，化简有3x3+3bx2+4cx+4=0.记Q(x)= 3x3+3bx2+4cx+4,则Q/(x)= 9x2+6bx+4c,-b0,c= - ,-1c0,0，故Q/(x)=0有相异两实根,即函数Q(x)有两个极值点,不妨设为x1, x2 (x1x2),则Q(x)极大值为Q(x1)，极小值为Q(x2).下面要确定两个极值的符号，显然十分困难，从函数结构特征上发现Q(0)=4,它就是此题的一个“启示点”，因为Q（x）在区间（x1,x2）内为减函数,所以Q(x1) Q(0) Q(x2),则Q(x1)一定为正，从而只须确定Q(x2)的符号即可. 而三次函数Q(x2)
7、= 3 x23+3b x22+4c x2+4的符号较难确定,函数Q（x）具有一个特性，即Q/(x2)恒为0 (x2为Q(x)的极值点),以此为中心,利用它的特性进行两次降次，由3次降至1次,寻求解决问题的思路.Q(x2)= 3 x23+3b x22+4c x2+4= x2(9 x22+6b x2+4c)+b x22+c x2+4=0+ b x22+c x2+4= (9 x22+6bx2+4c)+(c-b2) x2+4- bc =(c-b2)x2+4- bc.由韦达定理得x1+x2= - b , x1x2= c ,0x1+x21, - x1x20,x10x2,x1-,1x1+x2-+x2,9x2
8、2-9x2-40 ,0x2,于是 Q(x2)=(c-b2)x2+4-bc(c-b2)+4- bc-+40,故Q（x）与x轴只有一个交点,所以方程F(x)=0只有一个实根 点评: 此题从函数特性中抓“启示点”引领思维“寻路”。特殊函数可以帮助我们轻松地选择思维的起点、方向、重心，以特殊函数特征、特性为中心，对信息层层剖析，使推理更具针对性、目标性。 此题充分利用三次函数Q(x2)具有的Q/(x2)=0这个特性,因势利导, 由三次降为一次,拨开云雾挖掘出深层次的内涵, 突破了关口.它的特性有着画龙点睛，凝神聚气之奇效!是思维的导向标!16.用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点F的光源所射出的光
9、线FP经抛物线上任一点反射后（该点处的切线反射）反射光线PM与抛物线对称轴平行.点拨：要证两直线平行，可从多种角度入手根据导数意义及切线特点，从角方面研究本题较为方便.证：设抛物线方程为 , 则焦点为.由抛物线定义知，又， 故PN的方程为，令x=0得 轴17如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率.变式:已知圆台形水桶高60cm，上口直径为60cm，底面直径为40cm，现将水以20的流量倒入桶中，当水深为20cm时，求水面升高的瞬时变化率. 点拨：什么是水面升高的变化率？是，还是？它们与导数有何关系？当时，水增量形
10、状如何？这些都会导致对问题的不同思考与解法.解法1：设当水深hcm时圆锥横截面半径为rcm，对应体积为V可知，, 又当时，且，即，当时，.答：当水深为4cm时，水面升高的瞬时变化率为. 解法2：由 得于是 又当时， 故. 答：当水深为4cm时，水面升高的瞬时变化率为. 解法3：易知当水深为4时，水面直径为3，设经秒后水面上升为，则此时水的增量近似地（看成圆柱）为.答：当水深为4cm时，水面升高的瞬时变化率为. 点评：法1从导数定义出发，解决实际问题；法2则从实际问题中先提炼出函数解析式，然后对函数求导，法3是从变化率的本质入手，运用以直代曲思想使问题获解,解法新颖别致,给人耳目一新之感18函数
11、f(x)=x3-3tx+m(m,t为实常数)是偶函数，且g(x)= . （1）求实数m的值并比较f()与f(2)( t0)的大小；（2）求函数y=f(x)在区间-2,2上的最大值F(t).变式（07福建改编）已知函数.（1）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（2）设函数，求证：yxO点拔：（1）由恒成立易得m=0而，故f()=f(2)；（2）由于函数f(x)是偶函数，故要讨论函数f(x)在-2,2的最大值，只需讨论函数f(x)在0,2的最大值.令h(x)= -3tx (x0,2)，h /(x)=3-3t.当t0时，h /(x)=3x2-3t0, (仅当t=0,x=0时，h /(x)
12、=0)，从而h(x)是增函数，h(x)的值域为0,8-6t，F(t)= 8-6t当t0时,分类的标准如何确定，先画出在x0时函数f(x)的图像,如图所示，而(1)中结论f()=f(2),以这个铺垫为中心，点明分类讨论的标准是什么，即区间0，2边界值2与和2大小关系为分类标准.分类为：当2,即t4时，h /(x)=3x2-3t0, 从而h(x)是减函数, f(x)在0，2单调递增函数，所以F(t)=f(2)=|8-6t|= 6t-8；当22,即1t4时, 在0，上，f(x)为增函数，F(t)=f()=2t；当22,即0t1时，F(t)=f(2)=|8-6t|= 8-6t.综上可得，F(t)=. 点评: 此题从前置铺垫中抓“启示点”引领思维“指路”。在知识发展、生成过程中，前后知识有着必然的联系，前面的铺垫为后者的发展创建有效的平台,也为前者沉淀的知识得到全然的释放与延伸,开辟了通道，促使游戈无序的思维有序化、方向化、目标化.19烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱A,B相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量A的8倍，
