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1、第十二章 概率与统计 第十二章第十二章 概率与统计概率与统计 第一部分第一部分 五年高考五年高考荟荟萃萃 2009 年高考年高考题题 一 选择题 1 1 0909 山东山东 1111 在区间 1 1 上随机取一个数x cos 2 x 的值介于 0 到 1 2 之间的概率为 A 1 3 B 2 C 1 2 D 2 3 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即 1 1 x 时 要使cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间 需使 223 x 或 322 x 2 1 3 x 或 2 1 3 x 区间长度为 3 2 由几何概型知cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 2
2、 3 2 故选 A 答案 A 2 09 09 山东文山东文 在区间 2 2 上随机取一个数 x cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概 率为 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解析 在区间 2 2 上随机取一个数 x 即 2 2 x 时 要使cosx的值介于 0 到 2 1 之间 需使 23 x 或 32 x 区间长度为 3 由几何概型知cosx的值 介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 3 故选 A 答案 A 3 0909 安徽卷理 安徽卷理 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙 也从这 6 个点中任意选两个点连成直线 则所得的两条直线相
3、互平行但不重合的概率等 于 A 1 75 B 2 75 C 3 75 D 4 75 解析 如图 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 A B CD E F 6 个点中任意选两个点连成直线 共有 22 66 15 15225CC 种不同取法 其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ACDB ADCB AEBF AFBE CEFD CFED 共 12 对 所以所求概率为 124 22575 p 选 D 答案 D 20092009 安徽卷文 安徽卷文 考察正方体 6 个面的中心 从中任意选 3 个点连成三角形 再把剩下 的 3 个点也连成三角形 则所得的两个三角形全等的概率等于 A 1 B
4、 C D 0 解析 依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 3 6 C个 由正方体各中心的对称性 可得任取三个点必构成等边三角形 故概率为 1 选 A 答案 A 5 5 2009 江西卷文 江西卷文 甲 乙 丙 丁4个足球队参加比赛 假设每场比赛各队取胜的概率 相等 现任意将这4个队分成两个组 每组两个队 进行比赛 胜者再赛 则甲 乙相 遇的概率为 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 解析 所有可能的比赛分组情况共有 22 42 412 2 C C 种 甲乙相遇的分组情况恰好有 6 种 故选D 答案 D 6 2009 江西卷理 江西卷理 为了庆祝六一儿童节 某食品厂制作了3种不同
5、的精美卡片 每袋食 品随机装入一张卡片 集齐3种卡片可获奖 现购买该种食品5袋 能获奖的概率为 A 31 81 B 33 81 C 48 81 D 50 81 解析 55 5 3 3 23 50 381 P 故选 D 答案 D 7 2009 四川卷文 四川卷文 设矩形的长为a 宽为b 其比满足b a 618 0 2 15 这种 矩形给人以美感 称为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是某工艺品厂 随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本 甲批次 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 乙批次 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 根据上
6、述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值 0 618 比较 正确结论 是 A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析解析 甲批次的平均数为 0 617 乙批次的平均数为 0 613 答案 A 8 20092009 辽宁卷文 辽宁卷文 ABCD 为长方形 AB 2 BC 1 O 为 AB 的中点 在长方形 ABCD 内随 机取一点 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A 4 B 1 4 C 8 D 1 8 解析 长方形面积为 2 以 O 为圆心 1 为半径
7、作圆 在矩形内部的部分 半圆 面积为 2 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 2 2 4 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为1 4 答案 B 2009 年上海卷理 年上海卷理 若事件E与F相互独立 且 1 4 P EP F 则 P EFI的 值等于 A 0 B 1 16 C 1 4 D 1 2 解析 P EFI 11 44 P EP F 1 16 答案 B 二 填空题 10 2009 广广东东卷卷 理理 已知离散型随机变量X的分布列如右表 若0EX 1DX 则a b 解析 由题知 12 11 cba 0 6 1 ca 1 12 1 211 222 ca 解得 12 5 a 4
8、1 b 答案 11 20092009 安徽卷理 安徽卷理 若随机变量 2 XN 则 P X 答案 1 2 12 20092009 安徽卷文 安徽卷文 从长度分别为 2 3 4 5 的四条线段中任意取出三条 则以这三条 线 段为边可以构成三角形的概率是 解析 依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况 2 3 4 或 3 4 5 或 2 4 5 故 3 4 33 4 P C 0 75 答案 0 75 13 2009 江苏卷 江苏卷 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取 2 根竹竿 则它们的长度恰好相差 0 3m 的概率为 解析
9、 考查等可能事件的概率知识 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10 它们的长度恰好相差 0 3m 的 事件数为 2 分别是 2 5 和 2 8 2 6 和 2 9 所求概率为 0 2 答案 0 2 14 2009 江苏卷 江苏卷 某校甲 乙两个班级各有 5 名编号为 1 2 3 4 5 的学生进行投篮 练习 每人投 10 次 投中的次数如下表 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班67787 乙班67679 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s 解析 考查统计中的平均值与方差的运算 甲班的方差较小 数据的平均值为 7 故方差 22222 2 67 00 87 02
10、 55 s 答案 15 2009 湖北卷文 湖北卷文 甲 乙 丙三人将参加某项测试 他们能达标的概率分别是 0 8 0 6 0 5 则三人都达标的概率是 三人中至少有一人达标的概率是 解析 三人均达标为 0 8 0 6 0 5 0 24 三人中至少有一人达标为 1 0 24 0 76 答案 0 24 0 76 16 20092009 福建卷文 福建卷文 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点 B 则劣弧AB 的长度小于 1 的概率为 解析 如图可设1AB 则1AB 根据几何概率可知其整体事 件是其周长3 则其概率是 2 3 答案 2 3 1717 2009 重庆卷文
11、 重庆卷文 从一堆苹果中任取 5 只 称得它们的质量如下 单位 克 125 124 121 123 127 则该样本标准差s 克 用数字作答 解析 因为样本平均数 1 125 124 121 123 127 124 5 x 则样本方差 222222 1 1313 4 5 sO 所以2s 答案 2 三 解答题 18 2009 浙江卷理 浙江卷理 本题满分 14 分 在1 2 3 9 这9个自然数中 任取3个数 I 求这3个数中恰有1个是偶数的概率 II 设 为这3个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为1 2 3 则有两组相邻的数 1 2和2 3 此时 的值是2 求随机变量 的分布列及其数学期望
12、E 解 I 记 这 3 个数恰有一个是偶数 为事件 A 则 12 45 3 9 10 21 C C P A C II 随机变量 的取值为0 1 2 的分布列为 012 P 5 12 1 2 1 12 所以 的数学期望为 5112 012 122123 E 19 2009 北京卷文 北京卷文 本小题共 13 分 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到红 灯的概率都是 1 3 遇到红灯时停留的时间都是 2 min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率 解 设这名学生在上学路上到
13、第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等 于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事 件 A 的概率为 1114 11 33327 P A 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B 这名 学 生在上学路上遇到k次红灯的事件 0 1 2 k Bk 则由题意 得 4 0 216 381 P B 1322 12 1424 12321224 33813381 P BCP BC 由于事件 B 等价于 这名学生在上学路上至多遇到两次红灯 事件 B 的概率为 012 8 9 P BP BP BP B 20 2009 北京卷理 北京卷
14、理 本小题共 13 分 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 遇到 红灯的概率都是 1 3 遇到红灯时停留的时间都是 2min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 解 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A 因为事件 A 等于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事件 A 的概率为 1114 11 33327 P A 由题意 可得 可能取的值为 0 2 4 6 8 单位 min 事件 2k 等价于事件 该学生在路上遇到k次红灯 k
15、 0 1 2 3 4 4 4 12 20 1 2 3 4 33 kk k PkCk 即 的分布列是 02468 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 的期望是 16328818 02468 81812781813 E 21 2009 2009 山东卷理山东卷理 本小题满分 12 分 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中 规定每人最多投 3 次 在 A 处每投进一球得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮 否则投第 三次 某同学在 A 处的命中率 q1为 0 25 在 B 处的命中率为 q2 该同学选择先在 A 处投一球 以后都在 B
16、 处投 用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其分布列 为 0 2 3 4 5 p 0 03 P1 P2 P3 P4 1 求 q2的值 2 求随机变量 的数学期望 E 3 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的 概率的大小 解 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 在 B 处投中为事件 B 则事件 A B 相互独立 且 P A 0 25 0 75P A P B q2 2 1P Bq 根据分布列知 0 时 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 0 03 所以 2 10 2q q2 0 8 2 当 2 时 P1 BBAPBBAPBBABBAP BPBPAPBPBPAP 0 75 q2 2 1 q 2 1 5 q2 2 1 q 0 24 当 3 时 P2 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 0 01 当 4 时 P3 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 0 48 当 5 时 P4 P ABBABP ABBP AB 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq
