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1、北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类） 20145（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合，集合，则（A） （B） 开始i=0结束i=i+1a 13?输出i是否a=2a+3输入a（C） （D）（2）如果，那么下列不等式一定成立的是（A） （B） （C） （D）（3）执行如右图所示的程序框图若输出的结果为，则输入的正整数的可能取值的集合是（A） （B）（C） （D）（4）已知函数的部分图
2、象如图所示，则（A） （B）（C） （D） （5）已知命题：复数在复平面内所对应的点位于第四象限；命题：，则下列命题中为真命题的是（A） （B） （C） （D） （6）若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D） （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示煤（吨）电（千度）纯利润（万元）箱甲产品箱乙产品若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过吨，电不超过千度，则可获得的最大纯利润和是（A）万元 （B）万元 （C）万元 （D）万元（8）如图放置的边长为的正沿边长为的正方形的各边内侧逆时针方向滚动当沿正方形各边滚
3、动一周后，回到初始位置时，点的轨迹长度是（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上（9）已知平面向量，满足，与的夹角为，则_ （10）的展开式中项的系数为_（用数字表示） （11）如图，为圆的直径，,过圆上一点作圆的切线，交的延长线于点，过点作于点，若是中点，则=_ （12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 （第11题图）（第12题图）（13）已知数列的前项和为，且满足，则 ；数列的前项和为 （14）若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在 上是有界函数下列函数； ；
4、； ，其中“在上是有界函数”的序号为 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）（本小题满分13分）在中，角，的对边分别是，且， 的面积为（）求边的长；（）求的值（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参组距频率0.0050.07575808590950.0201000.0400.060服务
5、时间/小时O加社区服务时间不少于90小时的概率；（）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数试求随机变量的分布列和数学期望（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为，中点， （）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的 位置；若不存在，说明理由（18）（本小题满分13分）已知函数，（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（）求函数的单调区间；（）设，当时，都有成立，求实数的取值范围（19）（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右
6、顶点的距离为（）求椭圆的标准方程；（）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知，是函数的两个零点，其中常数，设（）用，表示，；（）求证：；（）求证：对任意的北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类） 20145一、选择题（满分40分）题号12345678答案B CC DDACB二、填空题（满分30分） 题号91011121314答案三、解答题（满分80分）15（本小题满分13分）解：（）由得，所以由得，所以 7分（）由得， 所以所以 13分16（本小题满分13分）解：（）根据题意，参加社区服务时间
7、在时间段小时的学生人数为（人），参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为人 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为 5分 （）由（）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为由已知得，随机变量的可能取值为 所以；随机变量的分布列为0123 因为 ，所以 13分17（本小题满分14分）证明：（）如图，连结因为底面是正方形，所以与互相平分 又因为是中点， 所以是中点在中，是中点，是中点， 所以又因为平面，平面，所以平面 4分（）取中点在中，因为， 所以因
8、为面底面，且面面， 所以面因为平面所以 又因为是中点，所以如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系因为，所以，则，于是，因为面，所以是平面的一个法向量设平面的一个法向量是 因为所以即令则 所以由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为10分（）假设在棱上存在一点，使面设， 则 由（）可知平面的一个法向量是 因为面，所以于是，即又因为点在棱上，所以与共线因为，所以所以，无解故在棱上不存在一点，使面成立 14分18（本小题满分13分）（）由已知得因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以所以所以 3分（）函数的定义域是， （1）当时，成立，所以的单调增区间为 （2）当时，令，得，所以的单调增区间是；
9、令，得，所以的单调减区间是 综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是 8分（）当时，成立， “当时，恒成立”等价于“当时，恒成立”设，只要“当时，成立”令得，且，又因为，所以函数在上为减函数； 令得，又因为，所以函数在上为增函数 所以函数在处取得最小值，且所以 又因为，所以实数的取值范围 13分（）另解：（1）当时，由（）可知， 在上单调递增，所以所以当时，有成立（2）当时， 可得由（）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立 （3）当时，可得由（）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且当时，要使成立，只需，解得所以综上所述，实数的取值范围19（本小题满分14分）（）设椭圆的方程为，半焦距为. 依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得 解得，所以 所以椭圆的标准方程是 4分（）解：存在直线，使得成立.理由如下：由得，化简得设，则，若成立，即，等价于所以，,化简得，将代入中，解得，又由，从而，或所以实数的取值范围是 14分20（本小题满分13分）解：（）由，因为，所以 3分（）由，得即，同理，所以所以8分（）用数学归纳法证明（1）当时，由（）问知是整数，结论成立（2）假设当（）时结论成立，即都是整数由，得即所以，所以即由都是整数，且，所以也是整数即时，结论也成立由（1）（2）可知，对于一切，的值都是整数 13分
